90 – Uma turbina radial idealizada está na Figura P11.90. O escoamento absoluto entra a 25° em relação ao ângulo da pá como mostra a figura. A vazão é de 8 m3/s de água a 20°. A pá tem largura constante de 20 cm. Calcule a potência teórica desenvolvida.

Passo 1

Neste exercício foi te pedido a potência teórica desta turbina radial idealizada, ou seja, te pediu para determinar a potência de eixo gerada por uma turbina ideal. Quando se fala em uma turbomáquina ideal sempre podemos pensar nas equações de Euler das turbomáquina para fazermos os cálculos, que são equações baseadas na idealidade de uma turbomáquina.

Vamos então usar as equações de Euler.

Passo 2

Relembrando das equações de Euler das turbomáquinas, que a equação de potência para uma turbomáquina ideal é a seguinte

P = ρ Q ( u 2 V 2 - u 1 V 1 )

Onde,

-P é a potência desenvolvida pela turbina;

-ρ é a densidade da água, 1000 kg/m3;

-Q é a vazão;

-u2 é a velocidade periférica na entrada;

-u1 é a velocidade periférica na saída;

-V2 é a velocidade circunferencial na entrada (2);

-V1 é a velocidade circunferencial na saída (1);

Vamos a seguir saber como determinar as velocidades

Passo 3

A velocidade periférica, u, é calculada pela seguinte expressão

u = ω r

Onde,

-r é o raio do rotor (externo, r2=1,2m, e interno, r1=0,8m);

-ω é a velocidade angular;

A velocidade angular, lembrando, é expresso em termos da rotação, n, da seguinte forma

ω = 2 π n 60

Então, a expressão da velocidade periférica agora é

u = 2 π n 60 r

Aplicando essa expressão na entrada, 2, e na saída do rotor

u 2 = 2 π n 60 r 2

u 1 = 2 π n 60 r 1

Onde,

-u2 é a velocidade periférica na entrada;

-u1 é a velocidade periférica na saída;

-r2 é o raio externo do rotor, r2=1,2m;

-r1 é o raio interno do rotor, r1=0,8 m;

-n é a rotação em rpm.

Calculando as velocidades periféricas

u 2 = 2 π ( 80 ) 60 1,2 m s = 10,05 m s

u 1 = 2 π ( 80 ) 60 0,8 m s = 6,70 m s

Passo 4

A velocidade circunferencial na entrada, V2, se relaciona matematicamente com a velocidade radial da entrada, W2, com a seguinte expressão

W 2 = V 2 ∙ t a n ⁡ ( α )

Onde,

-W2 é a velocidade radial na entrada;

-V2 é a velocidade circunferencial na entrada;

-α é o ângulo referente a velocidade circunferencial na entrada do rotor, ângulo de V2, α=25º;

Isolando V2,

V 2 = W 2 tan ⁡ α

Lembrando que 1/tan(α) é igual a cot(α), assim

V 2 = W 2   c o t ⁡ ( α )

Para V1, que é a velocidade circunferencial na saída do rotor, podemos determina-lo pela seguinte equação

V 1 = u 1 - W 1 tan ⁡ ( θ )

Onde,

-W1 é a velocidade radial na saída;

-V1 é a velocidade circunferencial na saída;

-θ é o ângulo referente a velocidade radial W1, θ=30º.

Passo 5

Vamos expressar matematicamente as velocidades radias

Velocidade radial na entrada

W 2 = Q A 2

Onde,

-W2 é a velocidade radial da água na entrada;

-Q é a vazão;

-A2 é a área da pá referente a entrada;

A área da pá é definida como

A 2 = 2 π r 2 b 2

Onde,

-r2 é o raio externo do rotor, r2=1,2m;

-b2 é a largura da pá.

Como foi dito que a largura da pá é constante, então

b 1 = b 2 = b = 20   c m = 0,2   m

Substituindo,

W 2 = Q 2 π r 2 b

Analogamente,

W 1 = Q 2 π r 1 b

Onde,

-r1 é o raio interno do rotor, r1=0,8 m;

-b é a largura da pá.

Passo 6

Definimos as expressões das velocidades radias, W. Vamos calcula-las

Para a velocidade radial da saída, W1

W 1 = 8,0 m 3 s 2 π ( 0,8   m ) ( 0,2   m ) = 7,96 m s

Para a velocidade radial da entrada, W2

W 2 = 8,0 m 3 s 2 π ( 1,2   m ) ( 0,2   m ) = 5,31 m s

Passo 7

Calculando as velocidades circunferenciais

V2

V 2 = W 2   c o t ⁡ ( α )

Aplicando os valores

V 2 = 5,31 m s cot ⁡ 25 = 11,4 m s

V1

V 1 = u 1 - W 1 tan ⁡ ( θ )

Aplicando os valores

V 1 = 6,70 m s - 7,96 m s tan ⁡ 30 = 2,11 m s

Passo 8

Voltando na expressão da potência teórica

P = ρ Q ( u 2 V 2 - u 1 V 1 )

Agora é só aplicar os valores

P = 1000 k g m 3 8,0 m 3 s 10,05 m s 11,4 m s - 6,7 m s 2,11 m s = 8,034 x 10 5 W

P = 803,4   k W

Resposta

P = 8,0 x 1 0 5   W = 803,4   k W

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