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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 12

9.12 Uma aproximação para o perfil de velocidade em uma camada-limite laminar é

u U = 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4

Esta expressão satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da camada-limite laminar? Avalie δ * / δ   e θ / δ   .

Passo 1

As condições de contorno são:

u 0 = 0

d u d y y = δ = 0

Como:

u y = U 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4

E a derivada:

d u d y = U 2 δ - 6 y 2 δ 3 + 4 y 3 δ 4

Passo 2

Agora conferimos:

Em y = 0 :

u 0 = U 2 0 δ - 2 0 δ 3 + 0 δ 4

u 0 = 0

Em y = δ :

d u d y y = δ = U 2 δ - 6 δ 2 δ 3 + 4 δ 3 δ 4

d u d y y = δ = 0

Portanto, satisfaz as condições de contorno aplicáveis ao perfil de velocidade da camada-limite laminar.

Passo 3

Para δ * :

δ * = ∫ 0 ∞ 1 - u U d y = ∫ 0 δ 1 - u U d y

δ * = ∫ 0 δ 1 - 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4 d y

δ * = ∫ 0 δ 1 - 2 y δ + 2 y δ 3 - y δ 4 d y

δ * = y - y 2 δ + y 4 2 δ 3 - y 5 5 δ 4 0 δ

δ * = δ - δ 2 δ + δ 4 2 δ 3 - δ 5 5 δ 4

δ * = 1 - 1 + 1 2 - 1 5 δ

δ * = 3 10 δ

Então:

δ * δ = 3 10

δ * δ = 0 , 3

Passo 4

Para θ :

θ = ∫ 0 ∞ u U 1 - u U d y = ∫ 0 δ u U 1 - u U d y

θ = ∫ 0 δ 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4 1 - 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4 d y

θ = ∫ 0 δ 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4 - 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4 2 d y

θ = ∫ 0 δ 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4 - 2 y δ 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4 - 2 y δ 3 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4 + y δ 4 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4 d y

θ = ∫ 0 δ 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4 - 4 y 2 δ 2 - 4 y 4 δ 4 + 2 y 5 δ 5 - 4 y 4 δ 4 + 4 y 6 δ 6 - 2 y 7 δ 7 + 2 y 5 δ 5 - 2 y 7 δ 7 + y 8 δ 8 d y

θ = ∫ 0 δ 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4 - 4 y 2 δ 2 - 8 y 4 δ 4 + 4 y 5 δ 5 + 4 y 6 δ 6 - 4 y 7 δ 7 + y 8 δ 8 d y

θ = ∫ 0 δ 2 y δ - 2 y δ 3 + y δ 4 - 4 y 2 δ 2 + 8 y 4 δ 4 - 4 y 5 δ 5 - 4 y 6 δ 6 + 4 y 7 δ 7 - y 8 δ 8 d y

θ = ∫ 0 δ 2 y δ - 4 y 2 δ 2 - 2 y 3 δ 3 + 9 y 4 δ 4 - 4 y 5 δ 5 - 4 y 6 δ 6 + 4 y 7 δ 7 - y 8 δ 8 d y

θ = y 2 δ - 4 y 3 3 δ 2 - y 4 2 δ 3 + 9 y 5 5 δ 4 - 2 y 6 3 δ 5 - 4 y 7 7 δ 6 + y 8 2 δ 7 - y 9 9 δ 8 0 δ

θ = δ 2 δ - 4 δ 3 3 δ 2 - δ 4 2 δ 3 + 9 δ 5 5 δ 4 - 2 δ 6 3 δ 5 - 4 δ 7 7 δ 6 + δ 8 2 δ 7 - δ 9 9 δ 8 0 δ

θ = 1 - 4 3 - 1 2 + 9 5 - 2 3 - 4 7 + 1 2 - 1 9 δ

θ = 37 315 δ

Então:

θ δ = 37 315

θ δ = 0,117

Resposta

δ * δ = 0,3

θ δ = 0,117

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