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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 18

9.18 Um fluido, de massa específica ρ = 800 kg/m3, escoa a U = 3 m/s sobre uma placa plana de 3 m de comprimento e 1 m de largura. Na borda de fuga, a espessura da camada­limite é δ = 25 mm. Considere que o perfil de velocidade é linear, conforme mostrado, e que o escoamento é bidimensional (as condições do escoamento são independentes de z). Usando o volume de controle abcd, mostrado por linhas tracejadas, calcule a vazão através da superfície ab. Determine a força de arrasto sobre a superfície superior da placa. Explique como este arrasto (viscoso) pode ser calculado a partir dos dados fornecidos, mesmo se a viscosidade do fluido não for conhecida (veja o Problema 9.41).

Passo 1

Duas equações muito importantes para começar o problema, envolvendo a equação do transporte de Reynolds:

Conservação de Massa:

∂ ∂ t ∫ C v ρ ⅆ v + ∫ C s p V → ⅆ A → = 0

Conservação de Momento:

F → = ∂ ∂ t ∫ C V V → ρ ⅆ V + ∫ C S V → ρ V → ⅆ A →

Passo 2

Aplicando as condições dadas no enunciado teremos as seguinte equações:

Massa:

- ρ U b δ + ∫ 0 δ ρ . u . b . ⅆ y + m a b = 0

Momento:

R x = U - ρ U δ + m a b u a b + ∫ 0 δ u . ρ . u . b ⅆ y

Passo 3

Anotando algumas condições iniciais e definições para escoamento na placa:

u U = y δ = η   ;   d y δ = ⅆ η   ;   u a b = U  

Massa:

m a b = ρ U b δ - ∫ 0 1 ρ U η b δ ⅆ η =   ρ U b δ - 1 2 ρ U b δ =   1 2 ρ U b δ = 1 2 800.3 . 1.0,025 = 30   k g  

Para o momento:

R x = - ρ U 2 δ +   1 2 ρ U b δ . U + ∫ 0 1 ρ . U . η 2 . b . δ ⅆ η =

R x = - ρ U ² b δ +   1 2 ρ U 2 b δ + ∫ 0 1 ρ . U . η 2 . b . δ ⅆ η = 1 3 ρ . U 2 . b . δ - ρ U 2 b δ + 1 2 ρ U 2 b δ

R x = 1 3 800.3 2 . 1.0,025 - 800.3 2 . 0,025 + 1 2 800.3 2 . 1.0,025 =   - 30   N    

Resposta

É possível calcular a força de arrasto, mesmo sem a viscosidade, pelo fato da mesma visocidade ser a criadora da camada limite. Logo ao determinarmos um volume de controle em volta da camada limite, automaticamente estamos incluindo-a.

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