27 – Considere as condições do exemplo 9.3, incluído o efeito da adição de um isolamento de espessura t e condutividade térmica k=0,035 W/m.K para o duto. Nós desejamos agora incluir o efeito da radiação nas temperaturas da superfície externa e a taxa de perda de calor total por unidade de comprimento do duto.

A) Se Ts,1=45°C, t=25 mm, ε=1, e TViz=288 K, qual é a temperatura da superfície do lado, do topo e do fundo? Qual são as taxas de perda calor correspondentes por unidade de comprimento do duto?

B) Para a superfície do topo, calcule e plote a Ts,2 e q’ como uma função da espessura do isolamento para 0 ≤ t ≤ 50 mm. A superfície exposta do duto (t=0) pode ser assumida com emissividade ε=1.

Lembrando que as respectivas resistências são

Onde, σ é a constante de Stefan-Boltzmann que vale:

Substituindo no balanço de energia da Eq1:

A área A é comum nos três termos acima, dessa forma ela pode ser eliminada da equação, pois do outro lado temos o zero, assim

Vamos tentar isolar TS,2

Não conseguimos isolar TS,2 de forma explicita, pois no segundo lado da igualdade temos também este termo como você pode ver, assim quando formos encontrar a temperatura vamos usar um método iterativo para isso.

Da Eq2 o que precisamos encontrar é o coeficiente de transferência de calor, h, que vai possuir um valor para cada uma das superfícies. Podemos determinar o h pela equação de Nusselt, Nu:

Isolando h

Onde, L caracteriza a dimensão associada a cada superfície.

O nº de Nusselt, Nu, deve ser calculado com uma correlação apropriada para cada superfície.

Para uma superfície lateral de um duto temos que para o cálculo de Nusselt:

Para uma superfície inferior de uma placa quente, que é o caso, Nusselt pode ser determinado pela seguinte correlação

Para uma superfície superior de uma placa quente, Nusselt pode ser determinado pela correlação abaixo

Onde, para essas correlações anteriores, Pr é o nº de Prandtl e Ra é nº de Rayleigh. Prandtl lembrando que é determinado por tabela e Rayleigh pode ser calculado pela seguinte expressão

Veja que Rayleigh dependerá de TS,2 que é a temperatura da superfície externa, em que cada superfície possui um valor.

Vamos equacionar o coeficiente de troca térmica para cada superfície, conforme a Eq3 e as eq’s de Nusselt e de Rayleigh:

-Superfície lateral:

Para a superfície lateral

Assim, substituindo Nusselt

Agora o Rayleigh

Aplicando os valores já conhecidos, conforme os dados do exemplo 9.3:

Dados para o ar, do exemplo 9.3:

Repetindo o mesmo procedimento para a superfície do topo e do fundo:

-Superfície do topo:

-Superfície do fundo:

Calculando as temperaturas com a Eq2:

• Superfície Lateral:

Solução por iteração:

• Superfície do Topo:

Solução por iteração:

• Superfície do Fundo:

Solução por iteração:

Para as taxas de perda de calor, vamos usar a relação direta com a resistência térmica total, onde a diferença de temperatura será entre a temperatura interior, TS,1, e temperatura do ambiente externo, a vizinhança, TViz, assim

Onde,

Assim,

Para cada superfície vamos usar essa expressão.

A área A é intrínseca para cada superfície:

(São dois lados laterais)

Sendo L o comprimento do duto, então para cada superfície temos que a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento são:

Assim, a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do duto total é:

Precisamos calcular os valores de h para cada superfície. Para isso vamos pegar as equações simplificadas que chegamos anteriormente para cada h:

-hlateral:

-htopo:

-hfundo:

Para finalizar, vamos finalmente calcular a taxa total:

Aplicando os valores