Enunciado

98 – Ar atmosférico a 25°C e vazão mássica de 3x10-4 kg/s escoa através de um tubo circular de 10 mm de diâmetro e 1 m de comprimento, na qual a superfície interna está molhada com um filme fino de água mantida também a 25°C. Determine a densidade do vapor de água na saída do tubo, assumindo que o ar na entrada está seco. Qual é a taxa de vapor adicionada no ar?

Passo 1

Para o cálculo da densidade na saída do tubo podemos usar a expressão da taxa total de transferência de massa da água que é

n A = h m A s ∆ ρ A . l m

Onde,

-nA é a taxa de transferência de massa;

-hm é o coeficiente de transferência de massa;

-AS é a área superficial;

-ΔρA,lm é a variação logarítmica das densidades.

A área da superfície, As é a área da superfície de um cilindro que é:

A s = π D L

A variação de densidades logarítmica é definida por:

∆ ρ A . l m = ∆ ρ A . o - ∆ ρ A . i ln ⁡ ∆ ρ A . o ∆ ρ A . i = ( ρ A . s o - ρ A . m o ) - ( ρ A . s i - ρ A . m i ) ln ⁡ ρ A . s o - ρ A . m o ρ A . s i - ρ A . m i

Passo 2

Sendo que o ar entre seco no tubo, então não há vapor de água na entrada no ar e considerando também que a saturação de agua na saída do tubo é igual a saturação de água da entrada do tubo, então

ρ A . m i = 0 ;   ρ A . s o = ρ A . s i = ρ A . s a t

Assim,

∆ ρ A . l m = - ρ A . m ln ⁡ ρ A . s a t - ρ A . m ρ A . s a t

Substituindo na expressão da taxa

n A = h m A s ∆ ρ A . l m

n A = h m π D L - ρ A . m ln ⁡ ρ A . s a t - ρ A . m ρ A . s a t

Passo 3

A taxa de transferência de massa também pode ser escrita em termos da vazão mássica do ar, onde na saída do tubo teremos que a vazão mássica de água, que é exatamente nA, será a fração mássica de água no ar, xA, vezes a vazão mássica de ar, assim

n A = x A m ˙

Onde, para a fração mássica podemos calcular por

x A = ρ A . m ρ

Assim,

n A = ρ A . m ρ m ˙

Igualando as duas expressões de nA

ρ A . m ρ m ˙ = h m π D L - ρ A . m ln ⁡ ρ A . s a t - ρ A . m ρ A . s a t

O que nós queremos achar é ρA,m vamos tentar isola-lo na expressão acima

m ρ ˙ ln ⁡ ρ A . s a t - ρ A . m ρ A . s a t = - h m π D L

ln ⁡ ρ A . s a t - ρ A . m ρ A . s a t = - h m π D L ρ m ˙

Para eliminar o Ln, vamos aplicar exponencial nos dois lados

ρ A . s a t - ρ A . m ρ A . s a t = exp ⁡ - h m π D L ρ m ˙

ρ A . s a t - ρ A . m = ρ A . s a t exp ⁡ - h m π D L ρ m ˙

ρ A . m = ρ A . s a t - ρ A . s a t exp ⁡ - h m π D L ρ m ˙

Passo 4

O coeficiente de transferência de massa podemos calcular por Sherwood local que é dado por

S h = h m D D A B

Isolando hm

h m = D A B S h D

Podemos usar a correlação de Dittus-Boelter para o cálculo de Sherwood, cuja expressão é

S h = 0,023 R e 0,8 S c 0,4

Onde, Re é o número de Reynolds local, e Sc é número de Schmidt

R e = 4 m ˙ π μ D ; S c = v D A B

Onde, μ é a viscosidade dinâmica do ar.

Passo 5

Pela Tabela, na T=298K:

Para o ar:

ρ = 1,1707 k g m 3 ; μ = 183,6 x 10 - 7 k g m . s ; D A B = 26 x 10 - 6 m 2 s ; v = 15,71 x 10 - 6 m 2 s

Para o vapor de água saturada:

ρ A , s a t = 1 v = 1 44,25   m 3 / k g = 0,0226   k g / m 3  

Assim,

S h = 0,023 4 m ˙ π μ D 0,8 v D A B 0,4

Assim, para o coeficiente convectivo:

h m = D A B D 0,023 4 m ˙ π μ D 0,8 v D A B 0,4

Aplicando os valores:

h m = 26 x 10 - 6 m 2 s 0,01   m 0,023 4 3 x 10 - 4 k g s π 183,6 x 10 - 7 k g m . s ( 0,01   m ) 0,8 15,71 x 10 - 6 m 2 s 26 x 10 - 6 m 2 s 0,4

h m = 0,022 m s

Calculando a densidade na saída:

ρ A . m = 0,0226 k g m 3 - 0,0226 k g m 3 exp ⁡ - 0,022 m s π 0,01   m 1,0   m 1,1707 k g m 3 3 x 10 - 4 k g s

ρ A . m = 0,0211 k g m 3

Passo 6

Para calcularmos a taxa de vapor adicionada no ar, vamos pegar uma expressão já vista

n A = ρ A . m ρ m ˙

Aplicando os valores

n A = 0,0211 k g m 3 1,1707 k g m 3 3 x 10 - 4 k g s = 5,4 x 10 - 6 k g s

Resposta

ρ A . m = 0,0211 k g m 3

n A = 5,4 x 10 - 6 k g s

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