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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 38

Um aquecedor de ar para aplicação industrial é constituído por dois tubos concêntricos, isolados para o ar externo. Nesse sistema o ar escoa através do tubo central (interior), que tem parede delgada. Vapor de água saturado escoa através da região anular e a condensação do vapor mantém uma temperatura uniforme T s na superfície do tubo.

Considere condições nas quais o ar entra no tubo central, de diâmetro 50   m m , com uma pressão de 5   a t m , uma temperatura T m ,   e n t = 17 ° C e uma vazão de m ˙ = 0,03   k g / s , enquanto vapor saturado a 2,455   b a r condensa na superfície externa do tubo. Sendo o comprimento do sistema L = 5   m , quais são a temperatura de saída T m ,   s a i e a pressão de saída P s a i do ar? Qual é a vazão mássica do condensado que deixa o sistema?

Passo 1

Temos ar a P a = 5   a t m e vazão m ˙ = 0,03   k g / s escoando no interior de um tubo, de temperatura de superfície T s e dimensões D = 50 × 10 - 3   m e L = 5   m . No lado externo temos vapor saturado a P = 2,455   b a r , que é responsável por manter T s constante. Devemos encontrar qual será a temperatura de saída do ar T m ,   s a i para estas condições.

Vamos começar considerando que só há transferência de calor por convecção. Ou seja:

q = q c o n v

q = h A s ∆ T m l

Também vamos assumir que não há perdas de energia no processo. Assim, todo o calor transferido é empregado para aumentar a temperatura de ar. Então:

q = m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t

E

m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t = h A s ∆ T m l

Abrindo o termo ∆ T m l :

m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t = h A s T s - T m , e n t - T s - T m ,   s a i ln ⁡ T s - T m , e n t T s - T m ,   s a i

m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t = h A s T m ,   s a i - T m ,   e n t ln ⁡ T s - T m , e n t T s - T m ,   s a i

m ˙ c p = h A s ln ⁡ T s - T m , e n t T s - T m ,   s a i

ln ⁡ T s - T m , e n t T s - T m ,   s a i = h A s m ˙ c p

T s - T m , e n t T s - T m ,   s a i = exp ⁡ h A s m ˙ c p

T s - T m ,   s a i = T s - T m , e n t exp ⁡ h A s m ˙ c p

T m , s a i = T s - T s - T m , e n t exp ⁡ - h A s m ˙ c p

Passo 2

Como o tubo tem parede delgada podemos assumir que a temperatura da superfície será igual à do condensado. Pela tabela A-6 do apêndice A podemos verificar que na pressão P = 2,455   b a r o vapor saturado tem temperatura de T = T s = 400   K = 127 ° C .

Para poder aplicar a fórmula precisamos ainda determinar o coeficiente convectivo. Para isso, vamos primeiro estimar uma temperatura de saída T m , s a i para poder utilizar as propriedades médias. Vamos assumir T m , s a i = 97 ° C . Então a temperatura média será:

T - m = T m ,   e n t + T m ,   s a i 2

T - m = 17 + 97 2

T - m = 57 ° C = 330   K

De acordo com a tabela A-4 do apêndice as propriedades do ar são:

ρ 5   a t m = 5 × ρ 1   a t m = 5,3078   k g / m 3

c p = 1008,2   J / k g K

μ = 198,8 × 10 - 7   N s / m 2

k = 28,5 × 10 - 3   W / m K

P r = 0,703

Agora que temos as propriedades iremos calcular o número de Reynolds:

R e D = 4 m ˙ π D μ

R e D = 4 × 0,03 π × 50 × 10 - 3 × 198,8 × 10 - 7

R e D = 38427,8

Como R e D > 2300 temos um escoamento turbulento.

Passo 3

Para escoamento turbulento no interior de tubos cilíndricos:

N u D = h D k = 0,023 R e D 0,8 P r 0,4

h = k D × 0,023 R e D 0,8 P r 0,4

h = 28,5 × 10 - 3 50 × 10 - 3 × 0,023 × 38427,8 0,8 × 0,703 0,4

h = 53   W / m 2 K

A temperatura de saída do ar será:

T m , s a i = T s - T s - T m , e n t exp ⁡ - h A s m ˙ c p

T m , s a i = 127 - 127 - 17 exp ⁡ - 53 × π × 50 × 10 - 3 × 5 0,03 × 1008,2

T m ,   s a i = 99,2 ° C

Que é um valor similar à nossa estimativa.

Passo 4

Nosso próximo passo será encontrar a pressão de saída do ar. Sabemos que o ar entra a uma pressão de P a = 5   a t m porém, haverá uma queda de pressão devido ao atrito com as paredes da tubulação. Esta perda de pressão é dada por:

∆ P = f L D ρ u 2 2

Vamos então primeiro determinar qual é o fator de atrito:

f = 0,790 ln ⁡ R e D - 1,64 - 2

f = 0,790 ln ⁡ 38427,8 - 1,64 - 2 = 0,0223

Precisamos também determinar a velocidade de escoamento. Ela é dada por:

u = m ˙ ρ A e s c

u = 4 m ˙ ρ π D 2

u = 4 × 0,03 5,3078 × π × 50 × 10 - 3 2 = 2,9   m / s

Voltando à relação de perda de carga:

∆ P = 0,0223 × 5 50 × 10 - 3 × 5,3078 × 2,9 2 2 = 49   P a = 4,8 × 10 - 4   a t m

Então, como podemos ver a perda de carga possui um valor desprezível frente à pressão de entrada. Portanto, pode-se considerar que P s a i ≈ 5   a t m .

Passo 5

Por fim, devemos encontrar qual deve ser a vazão de condensado para garantir as condições do sistema. Para isso, vamos retomar uma consideração que já fizemos: não há perdas de energia. Ou seja, todo o calor fornecido pela condensação do vapor é igual ao calor recebido pela corrente de ar. Então, podemos dizer que:

q = m ˙ c ∆ H c o n d

m ˙ c ∆ H c o n d = m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t

m ˙ c = m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t ∆ H c o n d

Pela tabela A-6 do apêndice A, a entalpia de condensação do vapor saturado à P = 2,455   b a r é:

∆ H c o n d = 2183000   J / k g

Então

m ˙ c = 0,03 × 1008,2 × 99,2 - 17 2183000

m ˙ c = 1,14 × 10 - 3   k g / s

Resposta

T m ,   s a i = 99,2 ° C ; P s a i ≈ 5   a t m ; m ˙ c = 1,14 × 10 - 3   k g / s .

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