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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 83

O ar escoa através de um tubo a uma vazão de 200 L/s. O tubo consiste em duas seções com diâmetros de 20 cm e 10 cm com uma seção de redução suave que as conecta. A diferença de pressão entre as duas seções do tubo é medida por um manómetro de água. Desprezando os efeitos do atrito, determine a altura diferencial da água entre as duas seções do tubo. Considere a densidade do ar 1,20 kg/m³.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, assumimos inicialmente que:

1. O fluxo através do tubo é constante, incompressível e irrotacional com atrito desprezível (de modo que o a equação de Bernoulli é aplicável).

2. As perdas na seção de redução são insignificantes.

3. A diferença de pressão no ar na coluna é desprezível devido à baixa densidade do ar e, portanto, a coluna de ar no manômetro pode ser ignorada.

E devemos lembrar que:

ρ a r = 1,2 k g m 3     e     ρ á g u a = 1000 k g m 3

Passo 2

Tomamos os pontos 1 e 2 ao longo da linha central do tubo sobre os dois tubos do manômetro, e fazendo um breve esboço, temos:

Observando que z 1 = z 2 (ou, os efeitos de elevação são desprezíveis para gases), a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 fornece:

P 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = P 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2               → P 1 - P 2 = ρ a r   V 2 2 - V 1 2 2               ( 1 )

Deixamos que a altura diferencial do manômetro de água seja h. Então a diferença de pressão P 2   -   P 1 também pode ser expressa como:

P 1 - P 2 = ρ á g u a g h                 ( 2 )

Assim, combinando as equações 1 e 2, temos:

ρ a r   V 2 2 - V 1 2 2 = ρ á g u a g h         → h = ρ a r   V 2 2 - V 1 2 2 g ρ a g u a

Passo 3

Agora precisamos encontrar as velocidades 1 e 2 das seções:

Como foi dada a vazão e os diâmetros, podemos inferir que:

V ˙ = V 1 A 1 = V 2 A 2

Para D = 20 c m :

V 1 = 0,2 m 3 s π 0,2   m 2 / 4 = 6,37 m s

E para D = 10 c m :

V 2 = 0,2 m 3 s π 0,1   m 2 / 4 = 25,5 m s

Assim, podemos encontrar o valor da diferença h:

h = 1,2 ⋅   25,5 ² - 6,37 ² 2 ⋅ 9,81 ⋅ 1000                     → h = 0,037   m

Resposta

Portanto: h = 3,7   c m

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