Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 29
Ar escoa para dentro da seção de contração de entrada de um túnel de vento de um laboratório de graduação. O ar entra em seguida na seção de teste, que é um duto de seção quadrada com lados de 305 mm. A seção de teste tem 609 mm de comprimento. Em uma condição de operação, o ar deixa a contração a 50,2 m/s com espessura de camada limite desprezível. Medições mostram que as camadas-limite a jusante, no final da seção de teste, têm 20,3 mm de espessura. Avalie a espessura de deslocamento das camadas-limite neste local. Calcule a variação na pressão estática ao longo da seção de teste do túnel de vento. Estime a força de arrasto total causada pelo atrito superficial sobre cada parede do túnel de vento.
Passo 1
Tá legal, a primeira coisa que vamos fazer aqui é escrever a equação da definição de espessura do deslocamento, equação 9.1 vista nesse capítulo, então, temos:
Agora, vamos dividir os dois lados da equação pela espessura , teremos:
Agora vamos fazer uma mudança de varíavel, vamos chamar:
E, quando , . E, sabendo que o perfil de potência é dado por:
Podemos reescrever nossa integral como:
Resolvendo a integral, chegamos em:
Substituindo os limites de integração, temos:
Então, a espessura de deslocamento na saída será:
Passo 2
Agora o que devemos fazer é aplicar o princípio da continuidade para o sistema. E nesse caso, como temos regime permamente e área transversal constante, teremos que a vazão na entrada é a mesma na saída, então podemos escrever:
Agora, vamos substituir os valores conhecidos e encontrar a velocidade do fluido na saída:
Agora para avaliar a variação de pressão estática ao longo da seção de teste, nós iremos utilizar a equação de Bernoulli, que nos dá:
No nosso caso, a diferença de cota entre os níveis da entrada e saída podem ser desprezados, então, teremos:
E, escrevendo em função da diferença de pressão, temos:
Substituindo os valores conhecidos, temos:
Passo 3
Agora vamos aplicar a equação do equilíbrio de momento para o sistema na direção , então, teremos:
No nosso caso, não temos força de campo atuando na direção , então teremos . As forças de superfície atuando no sistema são as forças de cisalhamento e a força de pressão. E, como temos regime permanente, a derivada parcial no tempo será zero, então a equação acima se torna:
Agora, reescrevendo a equação substituindo os termos conhecidos, chegamos em:
Precisamos encontrar a expressão para a velocidade média do sistema e a vazão mássica que sai por cima dele. Sabemos que a velocidade média será uma média entre as velocidades nos pontos 1 e 2, então, temos:
Agora, a vazão que sai pelo topo do volume de controle será a diferença entre a vazão mássica que entra por 1 e a que sai por 2, já que temos continuidade no sistema. Então, sendo assim, temos:
Então, resolvendo essa integral com o auxílio da equação para o perfil de velocidade, fazendo a mesma substituição realizada no passo 1, temos:
Resolvendo a integral, temos:
Então, substituindo essa expressão na equação para a vazão mássica do topo, temos:
Passo 4
Agora vamos resolver a integral descrita na equação de equilíbrio de momento no passo 3, dada por:
Da mesma forma, vamos utilizar a substituição em feita no passo 1, então, essa integral se tornará:
Resolvendo a integral, temos:
Então, substituindo todas as expressões encontradas na equação de momento, temos:
Substituindo os valores conhecidos, conseguimos encontrar a força de atrito: