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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 134

Uma bola de tênis, com massa de 57   g e diâmetro 64   m m , é solta em arpadrão ao nível do mar. Calcule a velocidade terminal da bola. Considerando, como uma aproximação, que o coeficiente de arrasto permanece constante no seu valor para a velocidade terminal, estime o tempo e a distância requeridos para a bola atingir 95 % da sua velocidade terminal.

Passo 1

Fala aí galera, bora pra mais um problema de Mecânica dos Fluidos. Primeiramente, sabemos que o arrasto deve se igualar ao peso na velocidade terminal:

F A = M g

Para relacionarmos o arrasto com a velocidade, basta usar a definição da força:

F A = 1 2 ρ A V 2 C A

Se considerarmos um número de Reynolds alto e usarmos a tabela 9.11, teremos que:

C A = 0,5

Checando o número de Reynolds:

R e = V t D v = 1,05 × 10 5

Antes da velocidade terminal, se aplicarmos a segunda lei de Newton:

M a = M d V d t = M g - 1 2 ρ V 2 A C A

Ou, manipulando:

d V d t = g - k V 2

Onde k = ρ A C A 2 M = 0,0174 1 m

Resolvendo a equação diferencial (integrando os dois lados):

t = ∫ 0 V 1 g - k V 2 d V = 1 g k a r c t g k g V

Logo:

V t = g k   t g g k     t

Mas, sabemos que:

V = 0,95 V t

Ou seja:

0,95 V t = g k   t g g k     t

Portanto, isolando o tempo e substituindo os valores:

t = 4,44 s

Passo 2

Agora, pegando uma distância x, temos que:

d x d t = g k   t g g k     t

Se separarmos as variáveis, integrando e calculando o valor de x, ficaremos com:

x = ∫ 0 t g k   t g g k     t d t

x t = 1 k ln ⁡ cosh ⁡ g k     t  

x = 67,1 m

Resposta

t = 4,44 s

x = 67,1 m

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