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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 15

Um campo de velocidade é dado por v → =   i ^ A x   +   j ^ 2 A y , em que A   =   2   s - 1 . Verifique que as equações paramétricas para o movimento da partícula são dadas por x p = c 1 e A t e y p = c 2 e 2 A t . Obtenha a equação para a trajetória da partícula localizada no ponto ( x ,   y )   =   ( 2 ,   2 ) no instante t   =   0 . Compare essa trajetória com a linha de corrente passando pelo mesmo ponto.

Passo 1

Esse é mais um dos problemas de campo de velocidade, onde devemos provar que as equações são válidas para o movimento das partículas , além de estar no ponto e instante estabelecido. E, por fim, fazer a comparação. Para isso, utilizareos as equações para as linhas de corrente

u p = d x d t         e       v p = d y d t

v u = d y d x

Passo 2

Para os caminhos, fazemos

u p = d x d t = A x                 v p = d y d t = 2 A y

Agora, separamos as variáveis e integramos

d x x = A   d t                   d y y = 2 A   d t                  

ln ⁡ x = A   t + C 1                         ln ⁡ y = 2 A   t + C 2

Então, a solução é:

x = e A   t + C 1               e         y = e 2 A   t + C 2

Podemos organizar as equações separando as exponenciais, logo

x = e A   t e C 1               e         y = e 2 A   t e C 2

x = C 1 e A   t               e         y = C 2 e 2 A   t

Passo 3

Eliminando o t nas equações, temos

t = c 2 e 2 A t = c 2   x c 2 2

Avaliando, temos que: y = c x 2 ou y = 1 2   x 2 . Assim,

v u = d y d x = 2 A y A x = 2 y x

Agora, separamos as variáveis e integramos

d y y = 2 d x x

ln ⁡ y = 2 ln ⁡ x + C

Então, a solução é: ln ⁡ y x 2 = C

Assim a linha de corrente que passa por ( 2,2 ) e a linha que começou em ( 2,2 ) coincidem porque o fluxo é constante.

Prontinho!!

Resposta

Coincidem porque o fluxo é constante.

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