Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 14

O campo de velocidade para um sorvedouro plano do tipo vórtice é dado por V → = ( - q / 2 π r ) ê r   +   ( K / 2 π r ) ê θ , em que q = 2 m³/s/m e K = 1 m³/s/m. A massa específica do fluido é 1000 kg/m3. Calcule a aceleração em (1, 0), (1, π/2) e (2, 0). Determine ∇ p para estas mesmas situações.

Passo 1

Pessoal, para resolver esta questão teremos que aplicar as equações de Euler em coordenadas cilíndricas, dadas pelas equações 6.3a e 6.3b do livro.

ρ a r = ρ ∂ V r ∂ t + V r ∂ V r ∂ r + V θ r ∂ V r ∂ θ + V z ∂ V r ∂ z - V θ 2 r = ρ g r - ∂ p ∂ r

ρ a θ = ρ ∂ V θ ∂ t + V r ∂ V θ ∂ r + V θ r ∂ V θ ∂ θ + V z ∂ V θ ∂ z + V r V θ r = ρ g θ - 1 r ∂ p ∂ θ

Considerando o escoamento em regime permanente:

∂ V r ∂ t = ∂ V θ ∂ t = 0

Além disso, não há velocidade no eixo z. Desta forma, as acelerações podem ser escritas como:

a r = V r ∂ V r ∂ r + V θ r ∂ V r ∂ θ - V θ 2 r

a θ = V r ∂ V θ ∂ r + V θ r ∂ V θ ∂ θ + V r V θ r

Passo 2

Pelo enunciado temos que V → = ( - q / 2 π r ) ê r   +   ( K / 2 π r ) ê θ . Separando as componentes, temos:

V r = - q 2 π r

V θ = K 2 π r

Podemos, então, substituir os valores nas equações das acelerações calculadas no Passo 1. Para a r :

a r = - q 2 π r ∂ - q 2 π r ∂ r + K 2 π r r ∂ - q 2 π r ∂ θ - K 2 π r 2 r

a r = - q 2 π r q 2 π r 2 + 0 - K 2 4 π 2 r 3

a r = - q 2 4 π 2 r 3 - K 2 4 π 2 r 3

a r = - q 2 + K 2 4 π 2 r 3

Como q=2 e K=1:

a r = - 5 4 π 2 r 3

Para a θ :

a θ = - q 2 π r ∂ K 2 π r ∂ r + K 2 π r r ∂ K 2 π r ∂ θ + - q 2 π r K 2 π r r

a θ = - q 2 π r - K 2 π r 2 - q K 4 π 2 r 3

a θ = q K 4 π 2 r 3 - q K 4 π 2 r 3 = 0

Passo 3

Agora, basta encontrar as acelerações nos pontos pedidos no enunciado.

Para (1,0):

a r = - 5 4 π 2 1 3 = - 0,127   m / s 2

Para 1 , π 2 :

a r = - 5 4 π 2 r 3 = - 0,127   m / s 2

Para (2,0):

a r = - 5 4 π 2 2 3 = - 0,016   m / s 2

Para todos os pontos:

a θ = 0

Passo 4

Para encontrar o gradiente de pressão, devemos usar as mesmas equações 6.3, escritas no Passo 1:

ρ a r = ρ g r - ∂ p ∂ r

ρ a θ = ρ g θ - 1 r ∂ p ∂ θ

Onde g r = g θ = 0

Substituindo os valores de a r :

ρ - 5 4 π 2 r 3 = - ∂ p ∂ r

∂ p ∂ r = ρ 5 4 π 2 r 3 = 5 000 4 π 2 r 3

Para   a θ :

ρ 0 = - 1 r ∂ p ∂ θ

∂ p ∂ θ = 0

Passo 5

Agora, vamos encontrar o gradiente nos pontos pedidos:

Para (1,0):

∂ p ∂ r = 5 000 4 π 2 1 3 = 127 P a m

Para 1 , π 2 :

∂ p ∂ r = 5000 4 π 2 1 3 = 127 P a m

Para (2,0):

∂ p ∂ r = 5000 4 π 2 2 3 = 16 P a m

Para todos os pontos:

∂ p ∂ θ = 0

Resposta

Para (1,0):

a r = - 0,127   m / s 2

∂ p ∂ r = 127 P a m

Para 1 , π 2 :

a r = - 0,127   m / s 2

∂ p ∂ r = 127 P a m

Para (2,0):

a r = - 0,016   m / s 2

∂ p ∂ r = 16 P a m

Para todos os pontos:

a θ = 0

∂ p ∂ θ = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um líquido incompressível, com massa específica igual a 1250 kg/m3 e viscosidade desprezível, escoa em regime permanente através de um tubo horizontal de diâmetro constante. Em uma seção porosa de com
Um bocal para um fluido incompressível e invíscido, com massa específica ρ = 1000 kg/m3, consiste em uma seção de tubo convergente. Na entrada, o diâmetro é De = 100 mm e, na saída, o diâmetro é Ds =
Um líquido incompressível, com massa específica igual a 900 kg/m3 e viscosidade desprezível, escoa em regime permanente através de um tubo horizontal de diâmetro constante. Em uma seção porosa de comp
Um bocal para um fluido incompressível e invíscido, com massa específica ρ = 1000 kg/m3, consiste em uma seção de tubo convergente. Na entrada, o diâmetro é De = 100 mm e, na saída, o diâmetro é Ds =