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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 75

Um coeficiente de quantidade de movimento, β , é definido como:

Avalie β para um perfil de velocidade laminar, Eq. 8.14, e para um perfil de velocidade turbulenta de “lei de potência”, Eq. 8.22. Trace β como uma função de n para perfil turbulento de lei de potência na faixa 6   ≤   n   ≤   10 e compare com o caso do escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de Mecânica dos fluidos. Primeiramente, sabemos que, para o escoamento laminar:

β = 1 m ˙ V - ∫ u ρ u d A = 1 ρ V - π R 2 V -   ∫ 0 R u ρ u 2 π r d r  

Como u U = f r R :

β = 1 ρ π R 2   U V - 2 ∫ 0 R u U 2 2 ρ π r d r = 2 U V - ² ∫ 0 1 u U 2 r R d r R  

Como o escoamento é laminar:

u U = 1 - r R 2

Logo:

u U 2 = 1 - 2 r R 2 + r R 4

Portanto:

β = 2 U V - 2 ∫ 0 1 r R - 2 r R 3 + r R 5 d r R = 2 U V - 2 1 2 - 1 2 + 1 6

Por fim, como U = 2 V - :

β = 1 3 2 2 = 4 3

Passo 2

Agora, para um escoamento turbulento, temos que:

u U = 1 - r R 1 n

u U 2 = 1 - r R 2 n

Logo:

β = 2 U V - 2 ∫ 1 0 1 - r R 2 n r R d r R

Se fizermos a substituição:

m = 1 - r R

r R = 1 - m

d r R = - d m

Substituindo e resolvendo a integral (nosso foco aqui não é resolver integrais, para isso, temos os módulos de cálculo, qualquer dúvida, só olhar lá):

β = 2 U V - 2 n 2 n + 2 2 n + 2

Como 1 = 7 :

β = 1 0,817 2 2 × 7 2 9 × 16 = 0,817

Passo 3

Para plotar o gráfico β × n :

V - U = 2 n 2 n + 1 2 n + 1

β = U V - 2 n 2 n + 2 n + 1

Portanto:

β = n + 1 2 n + 1 2 4 n 2 n + 2

Plotando o gráfico:

Resposta

β = 4 3

β = 0,817

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