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Enunciado

Sistemas de Controle - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 71

A comporta mostrada tem 1,5 m de largura e é articulada em O; a   =   1,0   m – 2 , D   =   1,20   m e H   =   1,40   m . Determine (a) o módulo e o momento da componente vertical da força em torno de O, e (b) a força horizontal que deve ser aplicada em torno do ponto A para manter a comporta na posição mostrada.

Passo 1

Nessa questão temos um portão parabólico, articulado em O , o qual possui uma largura constante. Vamos encontrar a magnitude e momento da força vertical no portão devido à água, e a força horizontal aplicada em A   necessária para manter o equilíbrio

Para resolução, aplicaremos as equações hidrostáticas a seguir:

d p d h = ρ g , pressão hidrostática

∑ M = 0 , equilíbrio de rotação

F v = ∫ p d A y , força hidrostática vertical

x ' F v = ∫ x d F v , momento de força vertical

y ' F H = ∫ y d F H , momento de força horizontal

Como todo problema da MecFlu, fazemos as seguintes considerações: fluido estático e incompressível; pressão atmosférica atua na superfície livre da água e fora do portão.

Passo 2

Começamos sempre integrando a equação da pressão hidrostática. Assim, para o item (a) temos:

F v = ∫ p d A y = ∫ ρ g h b d x

Onde: H = D - y , x = a y 3 , d x = 3 a y 2 d y .

Substituindo de volta à relação pela força:

∫ 0 D ρ g D - y b 3 a y 2 d y = 3 ρ g b a ∫ 0 D D y 2 - y 3 d y

Calculando a integral:

F v = 3 ρ g b a D 4 3 - D 4 4 = ρ g b a D 4 4

Agora, substituindo os valores:

F v = 999 k g m 3 × 9,81 m s 2 × 1,5   m × 1 m 2 × ( 1,2   m ) 4 4

F v = 7,62   k N

Para encontrar o momento, usamos a derivação da força:

x ' F v = ∫ x p d A y

x ' F v = ∫ 0 D a y 3 ρ g   D - y b 3 a y 2 d y

x ' F v = 3 ρ g a 2 b ∫ 0 D D y 5 - y 6 d y

x ' F v = 3 ρ g a 2 D 7 6 - D 7 7 = 3 42 ρ g a 2 b D 7 = ρ g a 2 b D 7 14

Substituindo os valores:

x ' F v = 999 k g m 3 × 9,81 m s 2 × 1 m 2 2 × 1,5   m × ( 1,2   m ) 7 14

x ' F v = 3,76   k N × m

Passo 3

Agora para a força horizontal em A , tomamos os momentos em O :

x ' F v + y ' F H - H F A = 0

Resolvendo a força em A :

F A = 1 H   x ' F v + y ' F H

Para obter o momento da força hidrostática horizontal:

y ' F H = ∫ y d F H

y ' F H = ∫ y p d A x

y ' F H = ∫ y ρ g h b d y = ρ g b ∫ 0 D D y - y 2 d y

Resolvendo a integral:

y ' F H = ρ g b D 3 2 - D 3 3 = ρ g b D 3 6

Substituindo os valores:

y ' F H = 999 k g m 3 × 9,81 m s 2 × 1,5   m × 1,2 3 6 = 4,23   k N × m

Então a força F A é:

F A = 1 1,4 3,76   k N × m + 4,23   k N × m

F A = 5,71   k N

Prontinho!!

Resposta

(a) F v = 7,62   k N e x ' F v = 3,76   k N × m

(b)   y ' F H = 4,23   k N × m e F A = 5,71   k N

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