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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo Exercícios Selecionados.- - Ex. 22

Num conduto de seção circular escoa água ( ρ = 1000   k g / m 3 ). Admite-se que nas seções A e B os diagramas de velocidades sejam os indicados na figura. Supondo P A = P B , determinar:

  1. A velocidade média na seção;
  2. O coeficiente da energia cinética na seção A ;
  3. A perda de carga entre A e B .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Como a velocidade na seção não é uniforme temos que:

v m = 1 A ∫ A v d A

Admitindo que R 1 = R 2 2 , temos que:

v m = 1 π R 2 2 20 ∫ 0 R 1 d A + 5 ∫ R 1 R 2 d A

Resolvendo, temos que:

v m = 1 π R 2 2 20 π R 1 2 + 5 π R 2 2 - R 1 2

v m = 5 + 15 ⋅ R 1 R 2 2

Usando a relação entre os raios, temos que:

v m = 5 + 15 0,5 2

v m = 8,75   m / s

Passo 2

O coeficiente de energia cinética é o fator que corrige a expressão original de energia cinética em escoamentos uniformes para escoamento de velocidades não-uniformes. A correção na expressão do fluxo de energia através da área de escoamento é dada por:

C = α ρ v m 2 A 2

A fim de calcular o coeficiente da energia cinética, temos que:

α = 1 A ∫ v v m 3 d A

Desenvolvendo, temos que:

α = 1 π R 2 2 v m 3 ∫ 0 R 1 v 1 3 d A + ∫ R 1 R 2 v 2 3 d A

Resolvendo, temos que:

α = 1 π R 2 2 v m 3 v 1 3 π R 1 2 + v 2 3 π R 2 2 - R 1 2

α = v 1 v m 3 R 1 R 2 2 + v 2 v m 3 - v 2 v m 3 R 1 R 2 2

Substituindo os valores encontraremos:

α = 3,12

Passo 3

Aplicando Bernoulli poderemos encontrar as perdas de A - B :

z A + P A γ + α A v A m 2 2 g = z B + P B γ + α B v B 2 2 g + H p A , B

Fazendo as devidas considerações para o sistema teremos que:

α A v A m 2 2 g = v B 2 2 g + H p A , B

3,12 9,75 2 2 0 = 8,75 2 2 0 + H p A , B

H p A , B = 8,11   m

Resposta

a )   α = 3,12

b )   H p A , B = 8,11   m

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