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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 38

Considera-se que o tamanho d das gotículas produzidas por um bico de spray de líquido depende do diâmetro D o bico, da velocidade U do jato e das propriedades do líquido ρ ,   μ   e   γ . Reescreva essa relação em forma adimensional. Dica: Considere D, ρ e U variáveis repetitivas.

Passo 1

Vamos para mais um desafio da mecânica dos fluidos?

Vamos escrever matematicamente como as coisas são função de outras?

d = f ( D , U , ρ ,   μ , γ )

Quais são as unidades bases desses parâmetros?

d = L

D = L

U = L T - 1

ρ = M L - 3

μ = { M L - 1 T - 1 }

γ = M T - 2

Como temos 6 variáveis (n), e temos 3 dimensões bases (MLT), tem-se que o número de grupos pi iguais a 6 – 3 = 3 grupos!

Passo 2

Bem, podemos então escrever esses grupos pi e vamos seguir a dica da questão pra saber quais são as variáveis repetitivas.

Π 1 = D a ρ b U c d

Π 2 = D a ρ b U c μ

Π 3 = D a ρ b U c γ

Passo 3

Vamos agora fazer as análises dimensionais e assim montar as equações algébricas!!!

Π 1 = D a ρ b U c d

L a M L - 3 b L T - 1 c L = { M 0 L 0 T 0 }

M : b = 0

L : a - 3 b + c + 1 = 0 → a = - 1

T : - c = 0

Π 1 = d D

Vamos para os próximos grupos!!!!

Grupo 2:

Π 2 = D a ρ b U c μ - 1

L a M L - 3 b L T - 1 c M L - 1 T - 1 - 1 = { M 0 L 0 T 0 }

M : b - 1 = 0 → b = 1

L : a - 3 b + c + 1 = 0

T : - c + 1 = 0 → c = 1

a - 3 1 + 1 + 1 = 0 → a - 3 + 2 = 0 → a = 1

Π 2 = D ρ U μ

Grupo 3:

Π 3 = D a ρ b U c γ - 1

L a M L - 3 b L T - 1 c M T - 2 - 1 = { M 0 L 0 T 0 }

M : b - 1 = 0 → b = 1

L : a - 3 b + c = 0

T : - c + 2 = 0 → c = 2

a = 3 b - c = 3 - 2 = 1

Π 3 = ρ U 2 D γ

Passo 4

Temos:

d D = f D ρ U μ , ρ U 2 D γ = f R e ,   ρ U 2 D γ

Resposta

d D = f R e ,   γ D ρ U 2

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