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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 45

Uma equação diferencial para modelar a dinâmica da reação química em um reator plug-flow, é a seguinte:

u ∂ C ∂ x = D ∂ 2 C ∂ x 2 - k C - ∂ C ∂ t

na qual u é a velocidade, D é um coeficiente de difusão, k é a taxa de reação, x é a distância ao longo do reator e C é a concentração (adimensional) de um dado componente químico no reator. (a) Determine as dimensões apropriadas de D e k . (b) Usando um comprimento de escala L característico e uma velocidade média V como parâmetros, reescreva essa equação na forma adimensional e comente sobre quaisquer grupos pi que aparecerem.

Passo 1

Para resolvermos a letra “a” basta compararmos as dimensões de dois termos da equação que se somam. Um dos termos com a variável que queremos saber as dimensões e outro onde já temos conhecimento das dimensões.

Vamos começar com k , para isto vamos comparar o termo que contém k e o primeiro termo, u ∂ C ∂ x :

k C = u ∂ C ∂ x

Escrevendo suas dimensões e fazendo os ajustes necessários vamos ter (lembrando que C é adimensional):

k = L T 1 L  

k = 1 T

Para D vamos fazer o mesmo:

D ∂ 2 C ∂ x 2 = u ∂ C ∂ x

{ D } 1 L 2   = L T 1 L  

D = L 2 1 T = L 2 T

Passo 2

Para a letra “b” vamos começar adimensionalizando as variáveis utilizando as constantes de escala dadas no exercício:

x * = x L ;

u * = u V ;

t * = V t L .

Substituindo os parâmetros na equação dada no problema pelos parâmetros adimensionais:

u ∂ C ∂ x = D ∂ 2 C ∂ x 2 - k C - ∂ C ∂ t

V u * ∂ C ∂ L x * = D ∂ 2 C ∂ L x * 2 - k C - ∂ C ∂ L t * V

V u * L ∂ C ∂ x * = D L 2 ∂ 2 C ∂ x * 2 - k C - V L ∂ C ∂ t *

Multiplicando todos os termos por L e dividindo por V :

u * ∂ C ∂ x * = D L V ∂ 2 C ∂ x * 2 - k L C V - ∂ C ∂ t *

Resposta

k = 1 T

D = L 2 T

O termo D L V , é o inverso do número de Peclet para transferência de massa.

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