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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 125

Considere o campo de escoamento formado pela combinação de um escoamento uniforme no sentido positivo de x e um sorvedouro localizado na origem. Seja U = 50   m / s e q = 90   m 2 / s . Use um volume de controle adequadamente escolhido para avaliar a força resultante por unidade de profundidade necessária para manter imóvel (no ar­ padrão) a forma de superfície gerada pela linha de corrente de estagnação.

Passo 1

Nesse caso vamos começar avaliando a função de corrente:

ψ = ψ u + ψ s = U y - q 2 π θ

ψ = U r s e n θ - q 2 π θ

E avaliando as componentes da velocidade:

u = u u + u s v = v u + v s

u = U - q 2 π r x r 2 v = 0 - q 2 π r y r 2

V _ = u i ^ + v j ^

V _ = U - q 2 π r x r 2 i ^ + - q 2 π r y r 2 j ^

Vamos, no passo 2, avaliar o ponto de estagnação…

Passo 2

Fazendo os cálculos no ponto de estagnação, onde: V _ = 0

Vamos lá!

- q 2 π y r 2 = 0

Para isso: y = 0 , além disso, para V _ = 0 , também temos que:

U - q 2 π x r 2 = 0

U = q 2 π x r 2

U = q 2 π x x 2 + y 2

x e s t a g n a ç ã o = q 2 π U

x e s t a g n a ç ã o = 90 2 π 50

x e s t a g n a ç ã o = 0,286   m

Opa! estamos mandando bem, hein?! No próximo passo vamos dar continuidade na avaliação do ponto de estagnação.

Passo 3

Ainda trabalhando com o ponto de estagnação agora veremos a função de corrente:

ψ = U r s e n θ - q 2 π θ

Nos pontos y = 0 e θ = 0 , vamos ter o seguinte:

ψ = 0

U r s e n θ = q 2 π θ

r e s t a g n a ç ã o = q θ 2 π U s e n θ

Além disso, na linha de estagnação:

y = r s e n θ

y e s t a g n a ç ã o = q θ 2 π U s e n θ s e n θ

y e s t a g n a ç ã o = q θ 2 π U

Em θ = π :

y e s t a g n a ç ã o = q 2 U

Uau! Estamos bons nisso, hein?! Agora para finalizar vamos avaliar a força resultante por unidade de profundidade necessária, que o nosso exercício pede!

Passo 4

Para isso, vamos precisar da equação do momento...Vamos lá que vai dar certo!

- R x = ∫ u ρ V _ . d A _

- R x = - U ρ q b

R x b = ρ q U

Substituindo os valores dados no enunciado e o ρ do ar, temos:

R x b = 1,1225 * 90 * 50

R x b = 5,51   k N / m

Resposta

Força resultante por unidade de profundidade: R x b = 5,51   k N / m

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