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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 110

Considere o campo de escoamento representado pela função potencial φ = x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 - x 2 + y 2 . Verifique se esse é um escoamento incompressível, e determine a função de corrente correspondente.

Passo 1

Vamos verificar se esse escoamento é incompressível, basta a gente testar a equação:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Vamos então encontrar as funções velocidade a partir da função potencial, porque ela a gente já tem, beleza? Show!

Vamos dar uma olhadinha nas equações que nos indicam um escoamento irrotacional:

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

Bom, então admitindo isso, podemos encontrar as funções velocidade.

u = - ∂ ∂ x ( x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 - x 2 + y 2 ) v = - ∂ ∂ y ( x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 - x 2 + y 2 )

u ( x , y ) = - 5 x 4 + 30 x 2 y 2 - 5 y 4 + 2 x v ( x , y ) = 20 x 3 y - 20 x y 3 - 2 y

Podemos testar agora se o escoamento é incompressível!

Passo 2

Vamos lá!

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

∂ ( - 5 x 4 + 30 x 2 y 2 - 5 y 4 + 2 x ) ∂ x + ∂ ( 20 x 3 y - 20 x y 3 - 2 y ) ∂ y = 0

- 20 x 3 + 60 x y 2 + 2 + 20 x 3 - 60 x y 2 - 2 = 0

Perfeito! Descobrimos que nosso escoamento é incompressível!

Passo 3

Agora partiu encontrar a função de corrente!

Relaxa! Vai ser tranquilo!

Já temos as funções velocidade, então:

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

ψ ( x , y ) = ∫ u ( x , y ) d y ψ ( x , y ) = - ∫ v ( x , y ) d x

ψ ( x , y ) = ∫ ( - 5 x 4 + 30 x 2 y 2 - 5 y 4 + 2 x ) d y ψ ( x , y ) = - ∫ ( 20 x 3 y - 20 x y 3 - 2 y ) d x

ψ x , y = - 5 x 4 y + 10 x 2 y 3 - y 5 + 2 x y + f x ψ ( x , y ) = - 5 x 4 y + 10 x 2 y 3 + 2 x y + f ( y )

Resposta

Temos um escoamento é incompressível e sua função de corrente é:

ψ ( x , y ) = - 5 x 4 y + 10 x 2 y 3 + 2 x y - y 5

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