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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 114

Considere o campo de escoamento representado pelo potencial de velocidade φ = A x + B x 2 - B y 2 , em que A = 1 m - 1 . s - 1 , B = 1 m - 1 . s - 1 e as coordenadas são medidas em metros. Obtenha expressões para o campo de velocidade e a função de corrente. Calcule a diferença de pressão entre a origem e o ponto ( x , y ) = ( 1,2 ) .

Passo 1

Mãos à obra! Vamos começar!

Bom, nosso exercício pede as expressões para o campo e velocidade e a função de corrente, beleza? A gente já tá ligado que podemos encontrar a expressão do campo de velocidade a partir do potencial...Basta que a gente se baseia que se trata de um escoamento irrotacional, aí serão válidas as equações:

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

Show de bola! Agora é só utilizar aquelas que dependem da função potencial e Voilá!

Então vamos ver:

u = - ∂ ∂ x ( A x + B x 2 - B y 2 ) v = - ∂ ∂ y ( A x + B x 2 - B y 2 )

u ( x , y ) = - A - 2 B x v ( x , y ) = 2 B y

Show! Agora nós fazer o teste o escoamento é incompressível!

Passo 2

Vamos lá! Basta a gente resolver essa equação:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

∂ ( - A - 2 B x ) ∂ x + ∂ ( 2 B y ) ∂ y = 0

- 2 B + 2 B = 0

Show!! Nosso escoamento é sim incompressível!

Passo 3

Agora partiu encontrar a função de corrente!

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

ψ ( x , y ) = ∫ u ( x , y ) d y ψ ( x , y ) = - ∫ v ( x , y ) d x

ψ ( x , y ) = ∫ ( - A - 2 B x ) d y ψ ( x , y ) = - ∫ ( 2 B y ) d x

ψ ( x , y ) = - A y - 2 B x y + f ( x ) ψ ( x , y ) = - 2 B x y + g ( y )

Aeee! Encontramos a função de corrente:

ψ ( x , y ) = - A y - 2 B x y

Uhuul!!

Passo 4

Agora pra fechar temos que calcular a diferença de pressão entre a origem e o ponto dado: ( x , y ) = ( 1,2 ) …

Bom, como vimos que nosso escoamento é incompressível e irrotacional, podemos usar a equação de Bernoulli aqui:

P 1 ρ + V 1 2 2 + g z 1 = P 2 ρ + V 2 2 2 + g z 2

Vamos começar assumindo que o nosso ρ é constante, ou seja, não teremos variação de massa específica no nosso fluido. E que z 1 = z 2 , beleza? Agora vamos aplicar as nossas condições:

P 1 ρ + V 1 2 2 = P 2 ρ + V 2 2 2

O nosso vetor velocidade já podemos encontrar, pois temos as componentes:

u ( x , y ) = - A - 2 B x v ( x , y ) = 2 B y

V - = - ( A + 2 B x ) i ^ + 2 B y j ^

Vamos então avaliar nossa velocidade na origem e no ponto que foi dado no enunciado, certo?

( x , y ) = ( 0,0 )     →   - ( 1 + 2 * 1 * 0 ) + 2 * 1 * 0   = - 1 i ^   = 1 m / s

( x , y ) = ( 1,2 )     →   - ( 1 + 2 * 1 * 1 ) + 2 * 1 * 2   = - 3 i ^ + 4 j ^   = 5 m / s

Arrasamos! Agora vamos voltar lá na equação!

P 1 ρ + 1 2 2 = P 2 ρ + 5 2 2

P 1 ρ - P 2 ρ = 5 2 2 - 1 2 2

P 1 - P 2 ρ = 25 - 1 2

P 1 - P 2 ρ = 12

P 1 - P 2 = 12 ρ

Prontinho!

Resposta

O escoamento tem as componentes da função velocidade:

u ( x , y ) = - A - 2 B x v ( x , y ) = 2 B y

E uma função de corrente:

ψ ( x , y ) = - A y - 2 B x y

E apresenta uma diferença de pressão entre a origem e o ponto dado de:

P 1 - P 2 = 12 ρ

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