Enunciado

Considere a difusão radial de uma espécie gasosa (A) através da parede de um tubo plástico (B), na presença de reações químicas que proporcionam o consumo da espécie A a uma taxa de A ( k m o l / ( s · m 3 ) ) . Deduza uma equação diferencial que descreva a concentração molar da espécie A no plástico.

Passo 1

Nessa questão nós temos que o gás (A) difunde-se através de uma parede cilíndrica do tubo (B) e experimenta reações químicas a uma taxa volumétrica,   N ˙ A . Com isso encontramos a equação diferencial que governa a concentração molar de gás no plástico.

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir:

(1) Difusão radial unidimensional;

(2) Concentração molar total uniforme;

(3) Meio estacionário.

Dividindo a equação de conservação da espécie pelo peso molecular, M A , e aplicando-o a um volume de controle diferencial de comprimento unitário normal à página temos,

N A , r + N ˙ A , g - N A , r + d r = N ˙ A , s t

Passo 3

Onde,

N A , r = 2 π r . 1 N " A , r = - 2 π r D A B ∂ C A ∂ r

N A , r + d r = N A , r + ∂ N A , r ∂ r d r

N ˙ A , g = - N ˙ A ( 2 π r . d r . 1

N ˙ A , s t = ∂ [ C A ( 2 π r . d r . 1 ) ]   ∂ t

Passo 4

Então,

- N ˙ A 2 π r d r + 2 π D A B ∂ ∂ r r ∂ C A ∂ r d r = 2 π r d r ∂ C A ∂ t

Ou,

D A B r ∂ ∂ r r ∂ C A ∂ r - N ˙ A = ∂ C A ∂ t

Resposta

D A B r ∂ ∂ r r ∂ C A ∂ r - N ˙ A = ∂ C A ∂ t

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