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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 57

Considere dois grandes (infinitos) planos paralelos que são difusos e cinzas com temperaturas e emissividades de T1, ε1 e T2, ε2. Mostre que a razão entre as taxas de transferência de calor por radiação com múltiplas barreiras, N, de emissividade εb, e a taxa sem barreiras, N = 0, é

na qual q12,N e q12,0 representam as taxas de transferência de calor por radiação para N barreiras e sem barreiras, respectivamente.

Passo 1

Vamos lá!!!

A gente tem duas situações diferentes, uma são duas placas paralelas infinitas e na outra no meio dessas placas tem N barreiras e queremos saber a razão das transferências de calor entre os dois casos!!!

Vamos começar pela primeira situação:

A resistência para troca de calor pode ser escrita:

A resistência total fica:

R t = 1 - ε 1 ε 1 + R 1 ' + 1 - ε 2 ε 2

Sabendo que:

R 1 ' = 1 F 12

Aqui a gente tem paredes paralelas entre si, então F 12 = 1 , logo R 1 ' = 1 !

Escrevendo q 1 2 ' :

q 12 ' = σ T 1 4 - T 2 4 R t = σ T 1 4 - T 2 4 1 - ε 1 ε 1 + R 1 ' + 1 - ε 2 ε 2

Substituindo R 1 ' :

q 1 2 ' = σ T 1 4 - T 2 4 1 - ε 1 ε 1 + 1 + 1 - ε 2 ε 2

Agora só dar uma última organizadinha:

q 1 2 ' = σ T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 ε 2 - 1

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa, só que com N barreiras:

Desenhando a resistência:

A cada placa adicionada a gente tem uma resistência espacial:

R n ' = 1 F n - 1 , n

Todas são placas paralelas, então o fator de forma sempre vai ser igual a 1 , e R 1 ' = R 2 ' = R n !

Logo para N barreiras, a soma das resistências espaciais ficam:

N R n ' = N 1 F n - 1 , n = N 1 1 = N

Sabendo disso a gente tem que observar a resistência da superfície!

Dessa ve para cada barreira adicionada a gente aumenta duas resistências da superfície

R s = 2 1 - ε s ε s

Então:

N R s = 2 N 1 - ε s ε s

Passo 3

Agora a gente vai somar todo mundo, sem esquecer das resistências das superfícies 1 e 2 :

N R t = N + 2 N 1 ε s - 1 + 1 ε 1 + 1 ε 1 - 1

Arrumando:

N R t = N 2 ε s - 1 + 1 ε 1 + 1 ε 1 - 1

Agora podemos esscrever q 12 , N ' :

q 1 2 , N ' = σ T 1 4 - T 2 4 N 2 ε s - 1 + 1 ε 1 + 1 ε 1 - 1

Passo 4

Agora vamos finalmente escrever a razão entre essas duas taxas de calor:

q 12 , N ' q 12 ' = σ T 1 4 - T 2 4 N 2 ε s - 1 + 1 ε 1 + 1 ε 1 - 1 σ T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 ε 2 - 1

Podemos cortar os termos em comum, ficamos com:

q 12 , N ' q 12 ' = 1 ε 1 + 1 ε 2 - 1 N 2 ε s - 1 + 1 ε 1 + 1 ε 1 - 1

Igualzinho o que o enunciado diz!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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