Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 60
Considere escoamento de sangue em uma artéria. O sangue é um fluido não newtoniano; a tensão de cisalhamento versus a taxa de cisalhamento é descrita pela relação de Casson:
Em que é a tensão de cisalhamento crítica e é uma constante que tem a mesma unidade da viscosidade dinâmica. A relação de Casson mostra uma relação linear entre e , com coeficiente linear e coeficiente angular (inclinação) . A relação de Casson se aproxima do comportamento newtoniano para altos valores da taxa de deformação. Deduza o perfil de velocidades para escoamento do sangue em regime permanente e completamente desenvolvido em uma artéria de raio . Deduza uma expressão para a vazão do sangue. Calcule a vazão devido a um gradiente de pressão em uma artéria de raio , usando os seguintes dados para o sangue: e .
Passo 1
Tá legal! Conforme vimos no exercício 54 dessa seção e também na equação 8.15 apresentada no livro, podemos escrever a tensão de cisalhamento ao longo de um tubo como:
Através dessa equação, podemos ver que a tensão é igual a zero exatamente na linha de centro, de modo que, deve haver um valor de para o qual nós temos . Essa faixa de valores terá um raio menor do que o raio chamado de raio crítico e dado por . Dessa forma, podemos dividir o escoamento em duas regiões. Uma em que temos e a tensão de cisalhamento é dada por:
E, outra, onde temos , de modo que temos:
Então, primeiramente, vamos determinar o perfil de velocidade para a região em que , então, vamos substituir a tensão de cisalhamento na equação fornecida no enunciado, de modo que teremos:
Então, como para o raio crítico, temos uma mudança no comportamento dessa função, então isso quer dizer que nesse ponto , então, a equação acima se torna:
Elevando ambos os lados ao quadrado, e isolando o raio crítico, chegamos em:
Passo 2
Agora nós vamos substituir a relação encontrada para na seguinte equação obtida no passo 1:
Então, rearranjando os termos, temos:
Agora, elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Agora nós vamos integrar essa expressão com relação a , e chegaremos em:
Agora, para obter o valor da constante , nós vamos usar a condição de não deslizamento nas bordas, ou seja:
Então, substituindo esses valores na expressão anterior, temos:
Então, o perfil de velocidade será:
Essa é a equação do perfil de velocidade para .
Passo 3
Agora, para a região onde nós temos , como não temos tensão de cisalhamento, não há impedimento na direção do escoamento. Dessa forma, a velocidade nesse ponto é constante para , e consequentemente, deve ser igual a velocidade obtida no ponto de transição para , então, para obter essa velocidade, nós precisamos fazer na equação obtida no passo 2, então, temos:
Então, agora, para obter a vazão volumétrica, podemos usar a sua definição, onde temos:
Só que, nesse caso, como temos dois perfis de velocidade ao longo do raio, precisamos separar essa integral em duas, dessa forma, teremos:
Agora nós vamos resolver uma integral de cada vez, então, para o intervalo , temos:
Resolvendo a integral, chegamos em:
Substituindo os limites de integração, temos:
Passo 4
Agora nós vamos resolver a integral para o intervalo , então, temos:
Resolvendo a integral, chegamos em:
Agora nós vamos substituir os limites de integração:
Agrupando os termos em comum e simplificando a expressão, chegamos em:
Sim, as expressões ficam gigantes mesmo. E nesse caso não compensa simplifica-las, Então, a equação da vazão será:
Passo 5
Então, agora, já conhecemos todos os valores da equação da vazão, menos o raio crítico, mas ele pode ser encontrado através da equação que vimos no passo 1, então, temos:
Substituindo os valores fornecidos no enunciado, temos:
Então, agora, substituindo todos os valores conhecidos e fornecidos no enunciado na equação do passo 4, obtemos o seguinte valor para a vazão: