45 – Considere uma panela de aço usada para ferver água em um fogão elétrico. A seção inferior da panela tem espessura L = 0,3   c m e diâmetro D = 20   c m . Uma boca de fogão consome 1.250   W de potência durante seu uso, e 85% do calor gerado é transferido uniformemente para a panela. A transferência de calor da superfície superior do fundo da panela para a água ocorre por convecção, com coeficiente de transferência de calor h . Considere que a condutividade térmica é constante e a transferência de calor é unidimensional, expressa a formulação matemática (equação diferencial e condições de contorno) desse problema de condução de calor durante operação permanente. Não resolva o problema.

Passo 1

Dados:

Espessura da panela  L = 0,3   c m

Diâmetro da panela  D = 20   c m

Capacidade de aquecimento elétrico  Q ˙ s = 1250   W

A quantidade de calor gerado no elemento de aquecimento se transferida uniformemente para a panela é de 85%

O coeficiente de transferência de calor por convecção é  h

Passo 2

Calcule o fluxo de calor na parte inferior da panela.

q ˙ s = Q ˙ s A s

= Q ˙ π D / 4

= 0,85 × ( 1250   W ) π 0,20   m 2 / 4

q ˙ s = 33820,425 W m 2

Passo 3

Assumindo condutividade térmica constante e transferência de calor constante unidimensional, a formulação matemática desse problema de condução de calor se torna

d 2 T d x 2 = 0

Assumindo a direção normal da superfície inferior da panela como o eixo x com a origem na superfície externa, as superfícies interna e externa da seção inferior da panela podem ser representadas por  x = 0 x = L respectivamente.

Passo 4

A primeira condição de contorno na superfície externa do fundo da panela em  x = 0 pode ser aproximada como sendo o fluxo de calor especificado, pois se afirma que 85% dos 1250   W são transferidos para a panela nessa superfície.

Então, torna-se

- k d T 0 d x = q ˙ s

Passo 5

A segunda condição de contorno na superfície interna do fundo da panela é a condução de calor na superfície da panela na direção selecionada é igual à convecção de calor na superfície na mesma direção

- k d T L d x = h [ T L - T ∞ ]

Onde T ∞ está a temperatura ambiente.

Portanto, a formulação matemática desse problema de condução de calor é  d 2 T d x 2 = 0

E as duas condições de contorno são:

- k d T 0 d x = q ˙ s

- k d T L d x = h [ T L - T ∞ ]

Resposta

Portanto, a formulação matemática desse problema de condução de calor é  d 2 T d x 2 = 0

E as duas condições de contorno são:

- k d T 0 d x = q ˙ s

- k d T L d x = h [ T L - T ∞ ]

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