48 – Uma esfera metálica de raio r 0 é aquecida em um forno a uma temperatura T i retirada e colocada em um grande tanque de água a uma temperatura T ∞ para resfriar por convecção, com coeficiente médio de transferência de calor por convecção h . Considerando uma condutividade térmica constante e uma transferência de calor unidimensional transiente, expresse a formulação matemática (equação diferencial e condições inicial e de contorno) desse problema de condução de calor. Não resolva o problema.

Passo 1

Dados:

O raio da bola esférica é   r 0

A bola de metal é aquecida no forno a uma temperatura de  T i

Temperatura da água  T ∞

O coeficiente médio de transferência de calor por convecção é  h

Passo 2

Assumindo que a condutividade térmica seja constante, com transferência de calor unidimensional, transitória e sem geração interna de calor, temos a equação de condução de calor com coordenadas esféricas, da seguinte forma:

1 r 2 ∂ ∂ r   r 2 ∂ T ∂ r = 1 ∝ ∂ T ∂ t

Como a temperatura dentro da bola muda com a distância radial r e o tempo t, temos a temperatura é uma função de  T = T ( r , t ) .

Quando a bola é removida do forno em  t = 0 , a condição inicial pode ser expressa como

T r , 0 = T

O problema possui simetria sobre o ponto médio, pois as isotermas, neste caso, são esferas concêntricas e, portanto, nenhum calor está cruzando o ponto médio da bola. Então a condição de contorno no ponto médio pode ser expressa como

∂ T ( 0 , t ) ∂ r = 0

O calor conduzido para a superfície externa da bola é perdido na água por convecção. Então, tomando a direção da transferência de calor como a direção  r  positiva, a condição de contorno na superfície externa pode ser expressa como

- k d T r 0 , t d r = h T ( r 0 ) - T ∞

Portanto, a equação matemática deste problema de condução de calor é

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ T ∂ r = 1 ∝ ∂ T ∂ t

A condição de contorno e as condições iniciais serão

T r , 0 = T

∂ T ( 0 , t ) ∂ r = 0

- k d T r 0 , t d r = h T ( r 0 ) - T ∞

Resposta

Portanto, a equação matemática deste problema de condução de calor é

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ T ∂ r = 1 ∝ ∂ T ∂ t

A condição de contorno e as condições iniciais serão

T r , 0 = T

∂ T ( 0 , t ) ∂ r = 0

- k d T r 0 , t d r = h T ( r 0 ) - T ∞

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