48 – Uma esfera metálica de raio é aquecida em um forno a uma temperatura retirada e colocada em um grande tanque de água a uma temperatura para resfriar por convecção, com coeficiente médio de transferência de calor por convecção . Considerando uma condutividade térmica constante e uma transferência de calor unidimensional transiente, expresse a formulação matemática (equação diferencial e condições inicial e de contorno) desse problema de condução de calor. Não resolva o problema.

Assumindo que a condutividade térmica seja constante, com transferência de calor unidimensional, transitória e sem geração interna de calor, temos a equação de condução de calor com coordenadas esféricas, da seguinte forma:

Como a temperatura dentro da bola muda com a distância radial r e o tempo t, temos a temperatura é uma função de .

Quando a bola é removida do forno em , a condição inicial pode ser expressa como

O problema possui simetria sobre o ponto médio, pois as isotermas, neste caso, são esferas concêntricas e, portanto, nenhum calor está cruzando o ponto médio da bola. Então a condição de contorno no ponto médio pode ser expressa como

O calor conduzido para a superfície externa da bola é perdido na água por convecção. Então, tomando a direção da transferência de calor como a direção  positiva, a condição de contorno na superfície externa pode ser expressa como

Portanto, a equação matemática deste problema de condução de calor é

A condição de contorno e as condições iniciais serão