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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 64

Considere o potencial de velocidades em coordenadas polares ϕ = B r 1,2   c o s ( 1,2 θ ) , sendo B uma constante. Verifique se ∇ 2 ϕ = 0 . Sendo o caso, encontre a função corrente associada ψ ( r ,   θ ) , trace a linha de corrente completa que inclui o eixo x ( θ = 0 ) e interprete.

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão!

Da equação 8.11 temos:

∇ 2 ϕ = 1 r ∂ ∂ r r ∂ ϕ ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 ϕ ∂ θ 2  

∇ 2 ϕ = 1 r ∂ ∂ r r 1 r ∂ ∂ r B r 1,2   c o s ( 1,2 θ ) + 1 r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 B r 1,2   c o s 1,2 θ

∇ 2 ϕ = 1,44 B ⋅ cos ⁡ 1,2 θ ⋅ r - 0,8 - 1,44 B ⋅ cos ⁡ 1,2 θ ⋅ r - 0,8

∇ 2 ϕ = 0

Passo 2

Considerando nosso sistema um semicorpo de acordo com a tabela 8.2 com m = 0 , assim temos:

ψ = B r 1,2 ⋅ sen ⁡ 1,2 θ

Viu só! Rapidinho!

Passo 3

Pra matar de vez calculando vamos fazer o esquema para ψ , lembrando que nosso valor vai ser nulo para θ = 0 e em θ = 150 ° , assim:

Logo podemos interpretar ψ como um escoamento de canto a 150 °

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

∇ 2 ϕ = 0                       ψ = B r 1,2 ⋅ sen ⁡ 1,2 θ

Logo podemos interpretar ψ como um escoamento de canto a 150 °

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