Convecção natural ocorre entre esferas concêntricas. A esfera interna tem diâmetro D i = 50   m m e está a uma temperatura de T i = 50 ° C , enquanto a esfera externa é mantida a T e = 20 ° C . No espaço entre as esferas há ar. Qual diâmetro da esfera externa é requerido de modo que a transferência de calor por convecção saindo da esfera interna é a mesma que aconteceria se ela estivesse colocada em um grande ambiente com ar quiescente a T ∞ = 20 ° C ?

Passo 1

O exercício propõe a seguinte situação: temos uma esfera de diâmetro D i = 50 × 10 - 3   m e temperatura T i = 50 ° C exposta ao ar atmosférico, de temperatura T ∞ = 20 ° C . Devido à diferença de temperatura haverá uma taxa de transferência de calor entre a esfera e o ar. Tudo bem?

Devemos então revestir a primeira esfera com uma segunda esfera de diâmetro D e e T e = 20 ° C , com ar entre as esferas, de modo a obter a mesma taxa de transferência. Nossa tarefa será encontrar o diâmetro D e em que isto ocorre. Vamos lá?

Nosso primeiro passo será calcular a temperatura média do ar, que será a mesma nos dois casos, e reunir as propriedades do fluido. A temperatura média é dada por:

T - m = T i + T e 2

T - m = 50 + 20 2

T - m = 35 ° C = 308   K

De acordo com a tabela A - 4 do apêndice A, as propriedades do ar nesta temperatura são:

ρ = 1,1348   k g / m 3

c p = 1007,3   J / k g K

ϑ = 16,69 × 10 - 6   m 2 / s

k = 26,9 × 10 - 3   W / m K

P r = 0,706

Passo 2

Vamos começar determinando a taxa de transferência de calor para a esfera exposta ao ar quiescente. Para isso, começaremos calculando o número de Rayleigh:

R a e = g β ∆ T D i 3 k ρ c p × ϑ

R a e = 9,81 × 1 T - m × ( T i - T ∞ ) × 50 × 10 - 3 3 26,9 × 10 - 3 1,1348 × 1007,3 × 16,69 × 10 - 6

R a e = 9,81 × 1 308 × ( 50 - 20 ) × 50 × 10 - 3 3 26,9 × 10 - 3 1,1348 × 1007,3 × 16,69 × 10 - 6

R a e = 304101,8

O próximo passo será obter o coeficiente convectivo. Para isso, vamos aplicar a correlação de Nusselt para esferas imersas em um fluido:

N u - D = h - D i k = 2 + 0,589 R a e 1 4 1 + 0,469 P r 9 16 4 9

h - = k D i × 2 + 0,589 R a e 1 4 1 + 0,469 P r 9 16 4 9

h - = 26,9 × 10 - 3 50 × 10 - 3 × 2 + 0,589 × 304101,8 1 4 1 + 0,469 0,706 9 16 4 9

h - = 6,814   W / m 2 K

Por fim, a taxa de transferência de calor por convecção será:

q = h - A s ( T i - T ∞ )

q = 6,814 × π × D i 2 × ( 50 - 20 )

q = 1,606   W

Passo 3

Vamos agora utilizar este valor para encontrar o espaço fechado esférico que gera a mesma taxa de transferência de calor.

A taxa de calor por convecção natural neste espaço é dada por:

q = 4 π k e f 1 r i - 1 r e ( T i - T e )

Então, ainda precisaremos obter a condutividade efetiva para esta situação. Tudo bem?

Para isso, vamos começar calculando o comprimento característico para um espaço esférico confinado:

L c = 1 r i - 1 r e 4 3 2 1 3 r i - 7 5 + r e - 7 5 5 3

L c = 1 25 × 10 - 3 - 1 r e 4 3 2 1 3 25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 3 Como ainda não definimos o valor de r e vamos mantê-lo assim na equação.

Nosso próximo é obter o número de Rayleigh:

R a L = g β ∆ T L c 3 k ρ c p × ϑ

R a L = 9,81 × 1 T - m × ( T i - T e ) × 1 25 × 10 - 3 - 1 r e 4 3 2 1 3 25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 3 3 26,9 × 10 - 3 1,1348 × 1007,3 × 16,69 × 10 - 6

R a L = 9,81 × 1 308 × ( 50 - 20 ) × 1 2 5 × 10 - 3 - 1 r e 4 2 × 25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 26,9 × 10 - 3 1,1348 × 1007,3 × 16,69 × 10 - 6

R a L = 1,216 × 10 9 × 1 2 5 × 10 - 3 - 1 r e 4 2 5 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5

Passo 4

Agora que encontramos uma relação para o número de Rayleigh podemos aplicar a correlação de condutividade térmica efetiva:

k e f k = 0,74 × P r 0,861 + P r 1 4 × R a L 1 4

k e f = k × 0,74 × P r 0,861 + P r 1 4 × R a L 1 4

k e f = 26,9 × 10 - 3 × 0,74 × 0,706 0,861 + 0,706 1 4 × 1,216 × 10 9 × 1 25 × 10 - 3 - 1 r e 4 25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 1 4

k e f = 3,046 × 1 25 × 10 - 3 - 1 r e 25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 / 4

Retornando para a relação de taxa de transferência de calor:

q = 4 π k e f 1 r i - 1 r e ( T i - T e )

1,606 = 4 × π × 3,046 × 1 25 × 10 - 3 - 1 r e 25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 / 4 1 25 × 10 - 3 - 1 r e × ( 50 - 20 )

1,606 = 4 × π × 3,046 2 5 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 / 4 × ( 50 - 20 )

25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 5 / 4 = 4 × π × 3,046 1,606 × 50 - 20 = 715,122  

25 × 10 - 3 - 7 5 + r e - 7 5 = ( 715,122 ) 4 5 = 192,09

r e - 7 5 = 192,09 - 25 × 10 - 3 - 7 5 = 17,152

r e = 17,152 - 5 7 = 0 , 131   m

Então, o diâmetro da esfera externa é:

D e = 2 × r e = 0,262   m

Resposta

O diâmetro requerido é D e = 0,262   m .

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