Enunciado

Considere um sistema de armazenamento térmico no qual o material que muda de fase (parafina) é confinado em um grande reservatório, cuja superfície inferior, horizontal, é mantida a Ts = 50°C por água morna enviada por um coletor solar.

(a) Desprezando a mudança na energia sensível da fase líquida, estime a quantidade de parafina que é derretida em um período de cinco horas iniciando com uma camada inicial na base do recipiente de espessura si = 10 mm. A parafina dos Problemas 8.47 e 9.57 é usada como material de mudança de fase e está inicialmente na temperatura de mudança de fase, Tpf = 27,4°C. A área da base do recipiente é de A = 2,5 m2.

(b) Compare a quantidade de energia necessária para fundir a parafina com a quantidade de energia requerida para elevar a temperatura da mesma quantidade de líquido da temperatura de mudança de fase até a temperatura do líquido média, (Ts + Tpf)/2.

(c) Desprezando a mudança na energia sensível na fase líquida, estime a quantidade de parafina que derreteria em um período de cinco horas se a placa quente for posicionada no topo do recipiente e si = 10 mm.

Passo 1

Vamo analisar o enunciado junto pra entender o que ele quer de você.

Temos um sistema que armazena parafina, no qual precisamos estime a quantidade de parafina que é derretida em um período de cinco horas, depois comparar a quantidade de energia necessária para fundir a parafina com a quantidade de energia requerida para elevar a temperatura da mesma quantidade de líquido da temperatura e, por fim, estime a quantidade de parafina que derreteria em um período de cinco horas se a placa quente for posicionada no topo do recipiente.

Antes de resolver esse problema, devemos ir no Problema 9.57 pra encontrar as propriedades da parafina que vamos utilizar nesse problema:

k   = 0,15   W m . K ν = 5 x 10 - 6   m ² s ,   α = 8,85 x 10 - 8   m ² s ρ = 770   k g / m ³ c p = k ρ   α = 2201 J k g . K , Pr ⁡ =   ν α = 56,5 h s f = 244   k J / k g β = 8 x 10 - 4   K - 1

Pronto, agora podemos resolver a questão nos próximos passos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o item (a).

Devemos calcular a quantidade de parafina derretida em um período t = 5   h = 18000   s , a partir da equação:

m =   h - A T s - T p f h s f t

Com o coeficiente de convecção sendo calculado como:

h - = N u - s k s  

Nesse caso, a transferência de calor está acontecendo do fundo do reservatório até a superfície do líquido, fazendo com que a gente tenha aqui cavidade horizontal com aquecimento na superfície inferior.

Por isso, a gente tem que calcular o número de Nusselt a partir da correlação de Globe e Dropkin:

N u - s = 0,069 R a s 1 / 3 P r 0,074

E, por fim, a gente tem que aprender a calcular o número de Rayleigh para uma placa plana:

R a s =   g β T s - T p f s ³ ν α

Juntando tudo isso, a gente chega em:

h - = 0,069   g β T s - T p f s ³ ν α 1 / 3 P r 0,074 k s

→ h - = 0,069   g β T s - T p f ν α 1 / 3 ( s ) P r 0,074 k s

→ h - = ( k ) 0,069   g β T s - T p f ν α 1 / 3 P r 0,074

Substituindo as propriedades demonstradas no Passo 1:

h - = 0,15   W m . K 0,069   9,81 m 2 s 8 x 10 - 4   K - 1 50 ° C - 27.4 ° C 5 x 10 - 6   m ² s 8,85 x 10 - 8   m ² s 1 / 3 56,5 0,074

→ h - = 102,86 W m 2 . K

Agora podemos calcular a quantidade de parafina derretida:

m =   102,86 W m 2 . K 2,5   m 2 50 ° C - 27.4 ° C 244000   J / k g 18000   s = 428,72   k g

Passo 3

Agora, vamo resolver a letra (b).

Devemos calcular a razão entre a energia necessária pra fundir a parafina e a energia pra elevar a temperatura da parafina até ( T s   +   T p f ) 2 = 38,7 ° C .

A energia necessária para fundir a parafina é:

E f u s ã o = m h s f = 428,72   k g 244000   J / k g = 1,046 x 10 8   J

Já a energia necessária pra elevar a temperatura da parafina:

E e l e v = m c p T - - T p f = 428,72   k g 2201 J k g . K 38,7 ° C - 27,4 ° C = 1,066 x 10 7   J

Comparando as duas energias, chegamos à razão:

E e l e v E f u s ã o = 1,066 x 10 7   J 1,046 x 10 8   J = 0,102

Passo 4

Pra matar a questão de vez, vamo resolver a letra (c).

Nesse item, a gente tem que calcular a quantidade de parafina derretida em um período de cinco horas se a placa quente for posicionada no topo do recipiente com   s i =   10   m m .

Aqui, a gente tem a cavidade horizontal com aquecimento na superfície superior e, portanto, temos uma transferência de calor só por condução.

Por isso, devemos fazer um balanço de energia pra quantificar isso:

ρ h s f d s d t = k ( T s -   T p f ) s

Separando as variáveis e integrando os dois lados, obtemos a seguinte expressão pra s ( t ) :

s t = 2 k T s -   T p f t ρ h s f +   s i 2

Substituindo as propriedades, temos:

s = 2 0,15   W m . K 50 ° C - 27,4 ° C 18000   s 770 k g m 3 244000 k J k g + 0,01   m 2 = 0,027   m

Calculando, a massa de parafina derretida:

m = A ρ s - s i = 2,5   m ² 7 7 0 k g m 3 0,027   m - 0,01   m = 32,72   k g

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) A quantidade de parafina que é derretida em um período de cinco horas na primeira situação é m =   428,72   k g .

(b) A razão entre energia necessária para fundir a parafina e a quantidade de energia requerida para elevar a temperatura é E e l e v E f u s ã o = 0,102 .

(c) A quantidade de parafina que é derretida em um período de cinco horas na segunda situação é m =   32,72   k g .

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