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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 78

Em coordenadas esféricas polares, como na Figura P4.12, o escoamento é chamado de escoamento com simetria axial se v θ ≡ 0   e   ∂ ∂ θ ≡ 0 , de forma que v r = v r r ,   θ   e   v θ = v θ r , θ . Mostre que para esse caso existe 7 uma função corrente ψ ( r ,   θ ) e ela é dada por

v r = 1 r 2 s e n θ ∂ ψ ∂ θ           v θ = 1 r s e n θ ∂ ψ ∂ r

Passo 1

Bora pra mais uma!

Do problema P4.12 com v ϕ = 0 a equação da continuidade é:

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 v r + 1 r s e n θ ∂ ∂ θ v θ s e n θ = ∂ ∂ r r 2 v r s e n θ + ∂ ∂ θ r v θ s e n θ = 0  

Note que isto se compara com uma forma de função diferencial cruzada, como:

∂ ∂ r ∂ ψ ∂ θ + ∂ ∂ θ - ∂ ψ ∂ r = 0

Daí:

v r ( S t o k e s ) = 1 r 2 s e n θ ∂ ψ ∂ θ ;     v θ ( S t o k e s ) = - 1 r s e n θ ∂ ψ ∂ r .

Resposta

Conforme demonstrado:

v r = 1 r 2 s e n θ ∂ ψ ∂ θ ;     v θ = - 1 r s e n θ ∂ ψ ∂ r

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