Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 48
Uma corrente uniforme de velocidade é inclinada de um ângulo a em relação ao eixo (Figura P9-48). O escoamento é estacionário, bidimensional e incompressível. As componentes cartesianas de velocidade são e . Encontre uma expressão para função corrente para esse escoamento.
Passo 1
Essa é uma questão muito comum de função corrente . Nela, o enunciado pede para a gente deduzir uma expressão para a função corrente a partir das equações de (componente horizontal da velocidade ou projeção da velocidade no eixo ) e de (componente vertical da velocidade ou projeção no eixo ).
A figura abaixo mostra os dados que temos para encontrar essa expressão de .
onde é a função corrente do escoamento, é o valor da função corrente da linha de corrente que corta o eixo em , é o valor da função corrente da linha de corrente que corta o eixo em , é o valor da função corrente da linha de corrente que corta o eixo em . é a componente vertical da velocidade do fluido, é a componente horizontal da velocidade do fluido. é a velocidade total do fluido. é a inclinação das linhas de corrente em relação ao eixo .
Depois de entender todos esses dados, podemos entender como encontrar uma expressão para a partir das velocidade e .
Passo 2
Para descobrir as fórmulas das componentes da velocidade no eixo e no eixo , derivamos parcialmente a função corrente . E como fazemos o inverso? Ou seja, como descobrimos uma fórmula para a função corrente a partir das componentes da velocidade ( e )?
Para fazer esse caminho inverso, usamos o inverso da derivada: a integral! Em outras palavras, descobrimos uma fórmula para a função corrente , integrando as componentes da velocidade ( e ).
A primeira etapa para fazer isso é usar a fórmula de cálculo de e em função de (equações 9-20 do livro) e substituir as equações de e dadas pelo enunciado.
Passo 3
Agora vamos integrar a equação de em relação a e encontrar a função corrente . Dizendo isso de outra forma, vamos pensar qual função que, ao ser derivada parcialmente em relação a , seria igual a .
Depois da integração em , encontramos que é a soma entre um termo em função de e uma função de . Ou seja, a função, cuja derivada parcial em vale é a soma entre um termo em função de e outro em função de . Mas por que tem uma função de nessa integração, se só houve integração em relação à variável ?
Isso ocorre, porque quando derivamos parcialmente a função em relação a , os termos que são funções de são considerados constantes! Ou seja, nada mais é do que a constante de integração da integral em !
Para achar , temos que derivar parcialmente em a função que encontramos.
Passo 4
Derivando parcialmente , achamos que:
onde é a derivada de .
Substituindo a fórmula de nessa equação:
Agora podemos integrar essa derivada em relação a para achar .
onde é uma constante de integração.
Substituindo isso na fórmula de , achamos: