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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 4

Quantas incógnitas há para um campo de escoamento tridimensional, em regime não permanente, compressível, no qual as variações de temperatura e densidade são significativas? Liste as equações necessárias para resolver essas incógnitas. (Dica: suponha que outras propriedades de fluxo, como viscosidade e condutividade térmica, possam ser tratadas como constantes.)

Passo 1

Vamo que vaaaamo?

O problema nos disse que o escoamento ocorre em três dimensões, o x ,   y e o z estão presentes!!

Nós temos que o regime não é permanente, portanto as propriedades como velocidade, massa específica e pressão variam com tempo!!

E por fim, o escoamento é compressível nos diz que a massa específica não é constante, assim como a temperatura !!

Tranquilo até aqui?

Só colocamos os conceitos !! Agora vamos começar de verdade.

Já vimos que a velocidade varia, certo? Então o vetor velocidade, composto pelos seus componentes, em x, y e z, também irão variar.

Portanto, os três componentes da velocidade V → , u ,   v   e   w são desconhecidas!

E temos mais coisas variando, não é?

A pressão, a massa específica e a temperatura !!

Portanto são seis incógnitas desconhecidas !!

Passo 2

Se existem seis incógnitas nós precisamos de seis equações para resolvê-las, né verdade?

Uma delas será obtida pela equação da continuidade:

∂ ρ ∂ t + ∂ ( ρ u ) ∂ x + ∂ ( ρ v ) ∂ y + ∂ ( ρ w ) ∂ z = 0

E três equações podem ser obtidas pelas três componentes da equação de Navier – Stokes:

ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = - ∂ P ∂ x + ρ g x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z = - ∂ P ∂ y + ρ g y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2

ρ ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z = - ∂ P ∂ w + ρ g w + μ ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2

Quatro já foram!!

Podemos também usar a equação para os gases:

P = ρ R T

E a equação de Bernoulli:

P + ρ V 2 2 + ρ g h = c o n s t a n t e

Bora para o próximo desafio?

Resposta

6   i n c ó g n i t a s - 6   e q u a ç õ e s   !  

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