Considere a sonda de amostragem de ar do Problema 9-45. Se as linhas de corrente superior e inferior estiverem separadas de 5,8   m m na corrente de ar distante, a montante da sonda, faça uma estimativa da velocidade da corrente livre V c o r r e n t e   l i v r e .

Passo 1

E aí, gente, como estão indo? Tudo belezinha? Vamos partir para um problema de função corrente ψ ? Antes de tudo, é necessário dizer que o enunciado da questão está equivocado! A tradução do livro se equivocou e escreveu Problema 9-45 ao invés de mencionar o Problema 9-44. Então nós faremos o exercício de acordo com o Problema 9-44, não de acordo com o Problema 9-45, ok?

O primeiro passo para resolver o problema é entender o que ele pede para a gente calcular e entender quais dados ele nos informa.

A questão quer que a gente calcule a velocidade do ar V c o r r e n t e   l i v r e na sonda de sucção forte (amostragem superisocinética) a partir de dados da função corrente ψ .

A figura abaixo mostra os dados que temos para realizar esse cálculo.

onde h é a distância entre as placas que formam a sonda, ψ u é a função corrente do fluido que está em contato com a placa de cima e ψ l é a função corrente do fluido que está em contato com a placa de baixo. y é a coordenada vertical e x é a coordenada horizontal que localizam os pontos do escoamento.

Com essas informações, podemos entender como calcular V c o r r e n t e   l i v r e no próximo passo.

Passo 2

Para calcular a componente horizontal V c o r r e n t e   l i v r e da velocidade do ar em função da função corrente ψ , usamos a equação 9-20.

u = ∂ ψ ∂ y

onde u é a componente horizontal da velocidade do fluido. Como a componente horizontal vale V c o r r e n t e   l i v r e no nosso caso, podemos reescrever essa fórmula.

u = ∂ ψ ∂ y     ⟹     V c o r r e n t e   l i v r e = ∂ ψ ∂ y

Mas como podemos encontrar V c o r r e n t e   l i v r e se não sabemos como ψ varia com y e, por isso, não temos como derivar ψ em relação a y ?

Passo 3

A resposta para essa pergunta está no próprio enunciado. Ele pede para a gente fazer uma estimativa de V c o r r e n t e   l i v r e . Ele não pede para a gente calcular exatamente quanto V c o r r e n t e   l i v r e vale.

Isso quer dizer que ao invés de calcular exatamente a derivada, nós podemos estimar a derivada. Fazemos isso dividindo a variação total de ψ das duas placas que formam a sonda Δ ψ = ψ u - ψ l pela variação total de y das duas placas Δ y = h . A equação dessa estimativa se encontra abaixo.

V c o r r e n t e   l i v r e = ∂ ψ ∂ y     ⟹     V c o r r e n t e   l i v r e = Δ ψ Δ y     ⟹     V c o r r e n t e   l i v r e = ψ u - ψ l h

Substituindo os dados na equação acima, achamos uma estimativa para V c o r r e n t e   l i v r e .

V c o r r e n t e   l i v r e = ψ u - ψ l h     ⟹     V c o r r e n t e   l i v r e = 0,15 - 0,105 0,0058

V c o r r e n t e   l i v r e = 7,76   m / s

Resposta

V c o r r e n t e   l i v r e = 7,76   m / s

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