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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 85

Deseja-se desenvolver um modelo simples para prever o histórico temperatura-tempo de uma placa durante o ciclo de secagem em uma máquina de lavar louças. Após o ciclo de lavagem, a placa encontra-se a T p t = T p 0 = 65 ° C e o ar no interior da máquina está completamente saturado ( ∞ = 1,0 ) a T ∞ = 55 ° C . Os valores da área superficial, A s , da massa, M , e do calor específico, c , da placa são tais que M c A s = 1600   J / m 2 K .

(a) Supondo que a placa esteja completamente coberta por uma fina pel��cula de água e desprezando as resistências térmicas na placa e na película líquida, deduza uma equação diferencial para prever a temperatura da placa em função do tempo.

(b) Para as condições iniciais ( t = 0 ) , determine a variação da temperatura da placa com o tempo d T / d t ( ° C / s ) , considerando que o coeficiente de transferência de calor médio sobre a placa seja igual a 3,5   W / m 2 K .

Passo 1

O item (a) nos pede para determinar uma expressão para a temperatura da placa em função do tempo. O nosso primeiro passo será pensar nas taxas de transferência de calor envolvidas no processo.

Teremos uma perda por convecção entre a película de água e o ar externo e uma perda devido à evaporação da água. Tudo bem?

Como estamos em um processo transiente (temperatura da placa varia com o tempo) vamos assumir que a placa está perdendo energia devido às taxas de transferência de calor e, isso faz com que sua temperatura varie. Aplicando estas considerações no balanço de energia:

d E d t = E ˙ e n t - E ˙ s a í d a + E ˙ g e r

d E d t = - E ˙ s a í d a

M c d T p d t = - ( q c o n v + q e v )

A taxa de transferência de calor por convecção é escrita como

q c o n v = h - A T p t - T ∞

A taxa de perda de calor por evaporação é:

q e v = m ˙ ∆ H e v

Substituindo:

M c d T p d t = - ( h - A s T p t - T ∞ + m ˙ ∆ H e v )

Passo 2

Continuando a dedução da equação de variação de temperatura da placa com o tempo, nosso próximo passo será explicitar a taxa de transferência de massa como:

m ˙ = h - m A s ρ A , s - ρ A , ∞

Vamos reunir também as propriedades da água nas temperaturas de 55 ° C e 65 ° C (Tabela A-6, apêndice A):

ρ A , s = 1 6,28 = 0,1592   k g / m 3

ρ A , ∞ = 1 9,716 = 0,1029   k g / m 3

∆ H e v T p = 2346800   J / k g

Aplicando estes valores na equação:

M c d T p d t = - ( h - A s T p t - T ∞ + h - m A s ρ A , s - ρ A , ∞ ∆ H e v )

M c A s d T p d t = - ( h - T p t - T ∞ + h - m ρ A , s - ρ A , ∞ ∆ H e v )

1600 d T p d t = - ( h - T p t - 55 + h - m 0,1592 - 0,1029 × 2346800 )

1600 d T p d t = - ( h - T p t - 55 + 132154,5 × h - m )

d T p d t = - h - T p t - 55 + 132154,5 × h - m 1600

Passo 3

No item (b) devemos agora utilizar a equação para verificar o valor de d T p d t quando t = 0 . Já temos quase todas as variáveis necessárias, faltando apenas o coeficiente de transferência de massa.

Para determiná-lo vamos aplicar a analogia termo mássica:

h - h - m = ρ c p L e 2 / 3

Em que precisaremos das propriedades do ar na temperatura de filme. Ela é dada por:

T f = T p ( 0 ) + T ∞ 2

T f = 65 + 55 2 = 120 2

T f = 60 ° C = 333   K

De acordo com as tabelas A-4 e A-8 do apêndice A, as propriedades do ar serão:

ρ = 1,0516   k g / m 3

c p = 1008,32   J / k g K

k = 28,742 × 10 - 3   W / m K

D A B 298   K = 0,26 × 10 - 4   m 2 / s

Nosso próximo passo será obter a difusividade para a temperatura de filme através da relação:

D A B 1 D A B 2 = T 1 T 2 3 / 2

D A B 2 = D A B 1 T 2 T 1 3 / 2

D A B 2 = 0,26 × 10 - 4 × 333 298 3 / 2

D A B 2 = 0,3071 × 10 - 4   m 2 / s

Passo 4

Continuando, vamos agora determinar o número de Lewis:

L e = k ρ c p D A B

L e = 28,742 × 10 - 3 1,0516 × 1008,32 × 0 , 3071 × 10 - 4

L e = 0,882

Aplicando na analogia:

h - m = h - ρ c p L e 2 / 3

Do enunciado h - = 3,5   W / m 2 K :

h - m = 3,5 1,0516 × 1008,32 × 0,882 2 / 3

h - m = 3,59 × 10 - 3   m / s

Substituindo na nossa equação de d T p / d t :

d T p d t = - 3,5 × 65 - 55 + 132154,5 × 3,59 × 10 - 3 1600

d T p d t = - 0,318   ° C / s

Resposta

(a) d T p d t = - h - T p t - 55 + 132154,5 × h - m 1600

(b) d T p d t t = 0 = - 0,318   ° C / s

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