Enunciado

(a) Para a drenagem laminar de uma camada fina e larga de água sobre um pavimento inclinado de um ângulo θ , como na figura P4.36, mostre que a vazão volumétrica é dada por:

Q = ρ g b h 3 s e n θ 3 μ

Em que b é a largura da camada e h sua profundidade. (b) Por comparação (um pouco trabalhosa) com a equação 10.13, mostre que essa expressão é compatível com um fator de atrito f = 24 / R e , em que R e = V m é d h / v   .

Passo 1

Fala aí, galera!!! Bora pra mais um “lerigou” da mecânica dos fluidos? Essa questão vai exigir da gente lembrar muito forte da parte teórica das paradas!

(a) A velocidade e o fluxo foram trabalhados de forma bem detalhadas nos problemas do livro referentes ao capítulo 4, então é bom você dar uma olhada por exemplo, no capítulo 4 do livro para pegar um background para essa questão!

Por exemplo, lá do problema 4.36 do livro, a gente via que:

M o m e n t o - X :     u = ρ g s e n θ 2 μ y ( 2 h - y )

Q = ∫ 0 b u b d y = ρ g b h 3 s e n θ 3 μ

Passo 2

(b) Para 0 < y < h , temos que V m é d i a = 2 3 u m á x (Essa relação também foi estudada lá no capítulo 4).

V m é d i a = 2 3 u m á x = h 2 g s e n θ 3 v

Passo 3

Note que se interpretarmos o s e n θ como um S o , o ângulo do canal, podemos comparar o valor de Q com a equação 10.13:

Q = g b h 3 S o 3 v = 8 g f b h h 1 2 S o 1 2

Resolvendo para

f = 72 v 2 g h 3 S o = 24 v V m é d i a h = 24 R e

Resposta

a   Q = ρ g b h 3 s e n θ 3 μ

b f = 24 R e

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