Um eixo de 6 cm de diâmetro gira a 3.000 rpm em um mancal de 20 cm de comprimento com folga uniforme de 0,2 mm. Para condições permanentes de operação, tanto o eixo quanto o mancal na proximidade da folga do óleo estão a 50°C. A viscosidade e a condutividade térmica do óleo lubrificante são 0,05 N.s/m2 e 0,17 W/m.K. Simplificando e resolvendo as equações da continuidade, da quantidade de movimento e de energia, determine (a) a temperatura máxima do óleo, (b) as taxas de transferência de calor para o mancal e o eixo, e (c) a perda de potência mecânica pela dissipação viscosa do óleo.

Para o escoamento entre duas placas planas paralelas, a equação da continuidade é dada por:

Assumindo que o escoamento do óleo é paralelo às placas, . Então:

O próximo passo é desenvolver a equação da quantidade de movimento:

Como vimos anteriormente e ; além disso, como a movimentação do fluido ocorre devido ao movimento da placa, e não devido ao gradiente de pressão, .

Portanto:

Integrando em y:

Integrando novamente:

Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes e . Para a velocidade as condições de contorno são:

Em que é o espaçamento entre as placas. Nosso sistema de equações fica:

O perfil de velocidade é:

Agora, vamos para a equação de balanço de energia:

Como e só ocorre transferência de calor na direção :

Portanto ficamos com:

Temos condições de calcular :

Substituindo no balanço de energia:

Integrando em :

Integrando em mais uma vez:

Vamos aplicar as condições de contorno para definir as constantes e . Para a temperatura sabemos que:

Então:

Substituindo e no perfil de temperatura:

Com o perfil de temperatura em mãos podemos calcular o ponto de máxima temperatura. Uma breve lembrança dos tempos de cálculo: pontos de máximo ou mínimo de uma função são pontos em que a derivada . Então, o que vamos fazer é derivar em relação a e igualar a zero.

Encontramos a posição em que ocorre a temperatura máxima. Vamos agora aplicar este ponto no perfil de temperatura para encontrar a temperatura máxima do sistema:

Nosso próximo passo é calcular o fluxo de calor em cada parede. Sabemos que a camada de fluido em contato com a parede tem a mesma velocidade que ela. Como não há diferença de velocidade o fluxo de calor ocorre por condução. Vamos para a primeira parede ():

Já calculamos a derivada de em relação a para descobrir o ponto de máximo. Vamos então substituir a expressão que encontramos:

Agora vamos repetir o procedimento para a parede :

Por fim, vamos calcular a perda de energia por dissipação viscosa. Como vimos no balanço de energia, o termo de dissipação viscosa é:

Como e :

Já calculamos . Substituindo:

Vamos apenas converter o nosso resultado para a unidade de potência (W). Para isso, temos que multiplicar o valor da dissipação pelo volume de óleo.

Multiplicando a dissipação pelo volume: