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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 110

O início da turbulência em um gás escoando em um tubo circular ocorre em R e D , c ≈ 2300, enquanto a transição do escoamento incompressível para o compressível ocorre em um número de Mach crítico de M a c ≈ 0,3. Determine o diâmetro do tubo crítico, D c , abaixo do qual escoamento incompressível e transferência de calor turbulentos não podem existir para (i) ar, (ii) C O 2 , (iii) He. Avalie as propriedades a pressão atmosférica e a temperatura T = 300 K.

Passo 1

Antes de começar, precisamos ir na tabela A.4 do apêndice A e pegar as propriedades de interesse para os elementos que iremos utilizar a pressão atmosférica e a temperatura de 300 K. Então teremos para o ar:

M a r = 28,97   k m o l / k g

c p a r = 1007   J / k g . K

μ a r = 184,6.10 - 7   N . s / m 2

Para o C O 2 temos:

M C O 2 = 44,01   k m o l / k g

c p C O 2 = 851   J / k g . K

μ C O 2 = 149 . 10 - 7   N . s / m 2

E, para o hélio:

M H e = 4,003   k m o l / k g

c p H e = 5193   J / k g . K

μ H e = 199 . 10 - 7   N . s / m 2

Beleza! Vamos começar esse exercício relembrando que a velocidade do som pode ser dada por:

c = γ R T

Onde γ é a relação entre os calores específicos a pressão constante e a volume constante, ou seja:

γ = c p c v

Da equação de gás ideal, temos que a densidade do fluido é dada por:

ρ = p R T

Sabemos também que o número de Mach é a relação entre a velocidade média do fluido em questão e a velocidade do som, ou seja:

M a = u m c → u m = c M a

Agora, nós sabemos que o número de Reynolds é dado por:

R e D = ρ u m D μ

Passo 2

Agora nós vamos substituir as expressões para u m e ρ na expressão para Reynolds, então teremos:

R e D = p c M a D R T μ

Agora, vamos substiutir a relação para a velocidade do som, onde chegaremos em:

R e D = p γ R T M a D R T μ → R e D = p M a D μ γ R T

Agora vamos isolar o diâmetro dessa equação, onde teremos:

D = R e D μ p M a R T γ

Para o ar, teremos a constante do ar ideal dada por R = 0,287   k J / k g . K , então, podemos calcular c v através de:

c v = c p - R = 1,007 - 0,287 → c v = 0,72   k J / k g . K

Agora nós vamos calcular o valor de γ para o ar, onde teremos:

γ = c p c v = 1,007 0,720 → γ = 1,4

Então, calculando o diâmetro para a situação crítica e para o ar, nós teremos:

D c = 2300 184,6.10 - 7 1,01.10 5 0,3 287 300 1,4 → D c , a r = 3,47.10 - 4   m

Passo 3

Agora nós vamos repetir os cálculos do passo 2 para o C O 2 , então teremos a constante de gás ideal de R = 0,189   k J / k g . K , com isso, podemos calcular c v através de:

c v = c p - R = 0,851 - 0,189 → c v = 0 , 662   k J / k g . K

Agora nós vamos calcular o valor de γ para o C O 2 , onde teremos:

γ = c p c v = 0,851 0,662 → γ = 1,285

Então, calculando o diâmetro para a situação crítica e para o C O 2 , nós teremos:

D c = 2300 149 . 10 - 7 1,01.10 5 0,3 189 300 1,285 → D c , C O 2 = 2,38 . 10 - 4   m

Agora nós vamos repetir os cálculos para o H e , então teremos a constante de gás ideal de R = 2,077   k J / k g . K , com isso, podemos calcular c v através de:

c v = c p - R = 5,193 - 2,077 → c v = 3,116   k J / k g . K

Agora nós vamos calcular o valor de γ para o H e , onde teremos:

γ = c p c v = 5,193 3,116 → γ = 1,667

Então, calculando o diâmetro para a situação crítica e para o H e , nós teremos:

D c = 2300 19 9.10 - 7 1,01.10 5 0,3 2077 300 1,667 → D c , H e = 9,23 . 10 - 4   m

Resposta

D c , a r = 3,47.10 - 4   m

D c , C O 2 = 2,38.10 - 4   m

D c , H e = 9,23.10 - 4   m

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