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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 54

A emissividade de uma superfície revestida de óxido de alumínio pode ser aproximada como 0,15 para radiação em comprimentos de onda menores que 5 μ m e como 0,9 para radiação em comprimentos de onda superiores a 5 μ m. Determine a emissividade média dessa superfície a (a) 5.800 K e (b) 300 K. O que você pode dizer sobre a absortividade dessa superfície para uma radiação proveniente de fontes a 5.800 K e 300 K.

Passo 1

Nossa superfície é revestida de óxido de alumínio e tem perfil de emissividade

ε λ = ε 1 = 0 , 15 ,           0 ≤ λ < 5   μ m ε 2 = 0 , 9 ,             5   μ m ≤ λ < ∞

Com este perfil devemos encontrar a emissividade média e a absortividade da superfície nas temperaturas T 1 = 5.800   K e T 2 = 300   K . Vamos lá???

Passo 2

Vamos começar com a temperatura T 1 = 5.800   K . A partir do perfil iremos calcular a emissividade média da superfície, que é dada por:

ε T = ∫ 0 ∞ ε λ λ , T E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = ∫ 0 5   μ m ε λ λ , T E b λ λ , T d λ + ∫ 5   μ m ∞ ε λ λ , T E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = ∫ 0 5   μ m 0,15 x E b λ λ , T d λ + ∫ 5   μ m ∞ 0,9 x E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = 0,15 x ∫ 0 5   μ m E b λ λ , T d λ + 0,9 x ∫ 5   μ m ∞ E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = 0,15 x ∫ 0 5   μ m E b λ λ , T d λ + 0,9 x ( ∫ 0 ∞ E b λ λ , T d λ - ∫ 0 5   μ m E b λ λ , T d λ ) σ T 4

Podemos aproximar ∫ 0 λ E λ , b d λ utilizando a função de radiação f λ :

∫ 0 λ E λ , b d λ = σ T 4 f λ

Vamos usar isso para encontrar a emissividade média:

ε T = 0,15 x ∫ 0 5   μ m E b λ λ , T d λ + 0,9 x ( ∫ 0 ∞ E b λ λ , T d λ - ∫ 0 5   μ m E b λ λ , T d λ ) σ T 4

ε T = 0 , 15 x σ T 4 x f 0 - 5   μ m + 0,9 x σ T 4 x ( f 0 - ∞ - f 0 - 5   μ m ) σ T 4

ε T = 0,15 x f 0 - 5   μ m + 0,9 x ( f 0 - ∞ - f 0 - 5   μ m )

Pela tabela 12-2 do capítulo do livro temos que para:

∞ x T → f = 1

5   μ m   x   5 . 8 00   K = 2 9.000   μ m . K → f = 0 , 9 9 4715

Então, nossa emissividade é:

ε T = 0 , 15 x 0 , 9 9 4715 + 0,9 x ( 1 - 0 , 9 9 4715 )

ε T 1 = 0 , 154

Temos agora que determinar a absortividade dasuperfície na temperatura T 1 = 5.800   K . Para isso, vamos utilizar a lei de Kirchhoff. Esta lei define que para a mesma temperatura:

ε = α

Então, a absortividade para 5.800 K é α 1 = 0,154.

Passo 3

Vamos agora repetir o procedimento para a temperatura T 2 = 3 00   K . A partir do perfil iremos calcular a emissividade média da superfície, que é dada por:

ε T = ∫ 0 ∞ ε λ λ , T E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = ∫ 0 5   μ m ε λ λ , T E b λ λ , T d λ + ∫ 5   μ m ∞ ε λ λ , T E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = ∫ 0 5   μ m 0,15 x E b λ λ , T d λ + ∫ 5   μ m ∞ 0,9 x E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = 0,15 x ∫ 0 5   μ m E b λ λ , T d λ + 0,9 x ∫ 5   μ m ∞ E b λ λ , T d λ σ T 4

ε T = 0,15 x ∫ 0 5   μ m E b λ λ , T d λ + 0,9 x ( ∫ 0 ∞ E b λ λ , T d λ - ∫ 0 5   μ m E b λ λ , T d λ ) σ T 4

Novamente, podemos aproximar ∫ 0 λ E λ , b d λ utilizando a função de radiação f λ :

∫ 0 λ E λ , b d λ = σ T 4 f λ

Vamos usar isso para encontrar a emissividade média:

ε T = 0,15 x ∫ 0 5   μ m E b λ λ , T d λ + 0,9 x ( ∫ 0 ∞ E b λ λ , T d λ - ∫ 0 5   μ m E b λ λ , T d λ ) σ T 4

ε T = 0,15 x σ T 4 x f 0 - 5   μ m + 0,9 x σ T 4 x ( f 0 - ∞ - f 0 - 5   μ m ) σ T 4

ε T = 0,15 x f 0 - 5   μ m + 0,9 x ( f 0 - ∞ - f 0 - 5   μ m )

Pela tabela 12-2 do capítulo do livro temos que para:

∞ x T → f = 1

5   μ m   x   3 00   K = 1 . 5 00   μ m . K → f = 0 , 013754

Então, nossa emissividade é:

ε T = 0,15 x 0 , 013754 + 0,9 x ( 1 - 0 , 013754 )

ε T 2 = 0 , 89

Temos agora que determinar a absortividade dasuperfície na temperatura T 2 = 3 00   K . Para isso, vamos utilizar a lei de Kirchhoff. Esta lei define que:

ε = α

Então, a absortividade para 300 K é α 2 = 0,89.

Resposta

Como α 2 > α 1 podemos dizer que a superfície tem uma maior capacidade de absorver radiação na temperatura de 300 K.

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