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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 113

Ar entra em um duto adiabático com 5 cm de diâmetro, 4 m de comprimento e condições de entrada de M a 1 = 2,8 , T 1 = 38 0 K e P 1 = 8 0   k P a . Observa-se que um choque normal ocorre em um local que está a 3 m da entrada. Tomando o fator médio de atrito do duto como 0,007, determine a velocidade, temperatura e pressão na saída do duto.

Passo 1

Fala ai! Pra resolver essa questão primeiro temos que assumir algumas coisas já que estamos falando de escoamento de Fanno: estado estacionário, escoamento com atrito constante, gás ideal com propriedades contantes.

Além disso, algumas propriedades do ar a gente vai ter que saber (ou pesquisar hehe):

k = 1,4

c p = 1,005   k J / k g . K

R = 0,287   k J / k g . K

O fator de atrito já foi dado f = 0,0 07 .

Passo 2

Pra gente começar, vamos ter que pegar lá na tabela A-16 que tem no final do livro as funções de escoamento pro número Mach da entrada.

Pra M a 1 =   2,8 :

P 1 P *   = 0,2441

T 1 T *   = 0,4673

f L * D h = 0,4898

Primeiro a gente tem que garantir que o escoamento é supersônico em todos os pontos antes do choque. Vamos calcular então o comprimento ( L * ) necessário pra que o escoamento chegue a condições sônicas:

L 1 * = f L * D h x D f

L 1 * = 0,4898 x 0,05 0,007 = 3,50   m

Esse comprimento que a gente encontrou é maior que o comprimento real do duto, então o escoamento se mantém supersônico em todos os pontos.

Passo 3

Agora, vamos usar o comprimento real do duto pra encontrar o número de Mach no momento do choque, por que a partir dele que a gente vai conseguir calcular as condições do fluido depois.

f L 1 D h = 0,007   x   3 0,05 = 0,4200

Como L 1 = L 1 * - L 2 * , vamos achar f L 2 D h pra achar M a 2 .

f L * D h 2 = f L * D h 1 - f L 1 D h

f L * D h 2 = 0,4898 - 0,4200 = 0,0698

Pra esse valor temos M a 2 = 1,315 .

Olhando na tabela, pra esse número de Mach temos:

P 2 P *   = 0,7183

T 2 T *   = 0,8918

Vamos precisar encontrar as condições no ponto 2 pra calcular as condições no ponto 3...

T 2 T 1 = T 2 / T * T 1 / T * = 0,8918 0,4673 = 1,9084   → T 2 = 1,9084   T 1 = 1,9084 380 = 752,2   K

P 2 P 1 = P 2 / P * P 1 / P * = 2,9426   → P 2 = 2,9426   P 1 = 235,4   k P a

Passo 4

Pronto, agora posso dizer que estamos no choque! Aqui temos que olhar a Tabela A-14 no final do livro pra ver as funções correspondentes ao choque pro número de Mach M a 2 = 1,315 :

M a 3 = 0,7786

P 3 P 2   = 1,8495

T 3 T 2   = 1,2001

Com os valores do ponto 2 podemos calcular as condições do ponto 3:

T 3 = 1,2001   T 2 = 1,2001 725,2 = 870,3   K

P 3 = 1,8495   P 2 = 435,4   k P a

Além disso, na tabela A-16 podemos pegar as funções pro ponto 3:

P 3 P *   = 1,3286

T 3 T *   = 1,0702

Passo 5

Considerando condição sônica na saída do tubo ( M a 4 = 1 ,   P 4 / P *   = 1 ,   T 4 / T *   = 1 ), vamos conseguir calcular a temperatura, pressão e velocidade.

T 4 T 3 = T 4 / T * T 3 / T * = 1 1,0702   → T 4 =   T 3 / 1,0702 = 870,3 / 1,0702 = 813   K

P 4 P 3 = P 4 / P * P 3 / P * = 1 1,3286   → P 4 =   P 3 / 1,3286 = 328   k P a

Pra calcular a velocidade, não esquece de converter as unidades heim!

V 4 = M a 4 c 4 = 1   x   k R T 4 = 1,4   x   0,287   x   813   ( 1000 ) = 572   m / s

Resposta

T 4 = 813   K

P 4 = 328   k P a

V 4 = 572   m / s

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