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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 131

Encontre a expressão para a razão entre a pressão de estagnação após uma onda de choque e a pressão estática antes da onda de choque em função de k e o número Mach a montante da onda de choque M a 1 .

Passo 1

E aí galerinhaaa!!

Como vocês estão?!! Animadíssimos, eu espero ! kkkk

Bom, nós temos que achar aqui a razão entre a pressão de estagnação após a onda de choque a pressão estática antes da onda de choque em função de k e o número Mach a montante da onda de choque M a 1 !!

Sabemos que a proporção de pressões estáticas no choque normal é:

P 2 P 1 = 1 + k M a 1 2 1 + k M a 2 2

Então:

P 2 = P 1 1 + k M a 1 2 1 + k M a 2 2

E para a razão entre as pressões de estagnação e estática a jusante do choque normal é:

P 02 P 2 = 1 + k - 1 2 M a 2 2 k k - 1

Colocando a expressão de P 2 nesta:

P 02 P 1 1 + k M a 1 2 1 + k M a 2 2 = 1 + k - 1 2 M a 2 2 k k - 1

P 02 P 1 = 1 + k M a 1 2 1 + k M a 2 2 1 + k - 1 2 M a 2 2 k k - 1

Passo 2

Shooow galerinha !! Agora lembrando que o número Mach a jusante do choque em termos do número Mach a montante é dada por:

M a 2 2 = k - 1 M a 1 2 + 2 2 k M a 1 2 - k + 1

Substituindo na equação do Passo 1:

P 02 P 1 = 1 + k M a 1 2 1 + k k - 1 M a 1 2 + 2 2 k M a 1 2 - k + 1 1 + k - 1 2 k - 1 M a 1 2 + 2 2 k M a 1 2 - k + 1 k k - 1

E agora vamos mexer nesse bichão !!

P 02 P 1 = 1 + k M a 1 2 2 k M a 1 2 - k + 1 2 k M a 1 2 - k + 1 + k k - 1 M a 1 2 + 2 4 k M a 1 2 - 2 k + 2 + k - 1 2 M a 1 2 + 2 k - 2 4 k M a 1 2 - 2 k + 2 k k - 1

Reorganizando:

P 02 P 1 = 1 + k M a 1 2 2 k M a 1 2 - k + 1 2 k M a 1 2 + 1 + k k - 1 k M a 1 2 - 1 4 k M a 1 2 + k - 1 2 M a 1 2 4 k M a 1 2 - 2 k + 2 k k - 1

E esse monstro aí é o que nós queríamos achar !!

Legal, não foi ?!

Resposta

P 02 P 1 = 1 + k M a 1 2 2 k M a 1 2 - k + 1 2 k M a 1 2 + 1 + k k - 1 k M a 1 2 - 1 4 k M a 1 2 + k - 1 2 M a 1 2 4 k M a 1 2 - 2 k + 2 k k - 1

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