Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 49
49 – Uma esfera metálica de raio é aquecida em um forno a uma temperatura , retirada e colocada para resfriar a uma temperatura ambiente por convecção e radiação. A emissividade da superfície externa da esfera é , e a temperatura das superfícies ao redor é . O coeficiente médio de transferência de calor por convecção é . Considerando uma condutividade térmica constante e uma transferência de calor unidimensional transiente, expresse a formulação matemática (equação diferencial e condições inicial e de contorno) desse problema de condução de calor. Não resolva o problema.
Passo 1
Assumindo que a condutividade térmica é variável, com transferência de calor unidimensional, transitória e sem geração interna de calor, temos a equação de condução de calor com coordenadas esféricas, da seguinte forma:
Como a temperatura dentro da bola muda com a distância radial r e o tempo t, temos a temperatura é uma função de .
Quando a bola é removida do forno em , a condição inicial pode ser expressa como
Passo 2
O problema possui simetria sobre o ponto médio, pois as isotermas, neste caso, são esferas concêntricas e, portanto, nenhum calor está cruzando o ponto médio da bola. Então a condição de contorno no ponto médio pode ser expressa como
O calor conduzido para a superfície externa da bola é perdido no ar ambiente por convecção e radiação. Então a condição de contorno na superfície externa pode ser expressa como
Escreva a expressão aplicando a lei de condução de calor de Fourier, a lei de resfriamento de Newton e a lei de Stefan Boltzmann.
Transformando a expressão para esta condução de calor em coordenadas esféricas, temos:
A condição de contorno e as condições iniciais serão
Resposta
A condição de contorno e as condições iniciais serão