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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 67

Uma esfera oca de alumínio, com um aquecedor elétrico no centro, é usada em testes para determinar a condutividade térmica de materiais isolantes. Os raios interno e externo da esfera são 0,15 e 0,18   m , respectivamente, e os testes são realizados em condições de regime estacionário com a superfície interna do alumínio mantida a 250 ° C . Em um teste específico, uma casca esférica de isolante é moldada sobre a superfície externa da esfera até uma espessura de 0,12   m . O sistema encontra-se em uma sala na qual a temperatura do ar é de 20 ° C e o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície externa do isolante é de 30   W / m 2 K . Se 80   W são dissipados pelo aquecedor em condições de regime estacionário, qual é a condutividade térmica do isolante?

Passo 1

Vamos começar esquematizando o problema. Temos uma esfera com temperatura de T s , 1 = 250 ° C na superfície interna e com dimensões r 1 = 0,15   m e r 2 = 0,18   m . Sobre a esfera é colocada uma camada de isolante de espessura e = 0,12   m . Também sabemos que o sistema está em um ambiente com T ∞ = 20 ° C e que o ar externo tem h = 30   W / m 2 K e, que nessas condições, a taxa de transferência de calor é q = 80   W . Com esses dados devemos obter a condutividade térmica do isolante.

Para isso, vamos começar determinando as resistências térmicas envolvidas no sistema e, depois aplicar a equação geral de taxa de transferência de calor para determinar a condutividade do isolante. Vamos lá???

Passo 2

Nosso primeiro passo será verificar quais mecanismos de transferência de calor ocorrem no sistema. Teremos condução na casca da esfera e no isolante, e convecção entre o isolante e o ar externo. Tudo bem?

As equações de transferência de calor são:

q c o n d , 1 = 4 π k a l T s , 1 - T s , 2 1 r 1 - 1 r 2

q c o n d , 2 = 4 π k i s o T s , 2 - T s , 3 1 r 2 - 1 r 3

q c o n v = h 4 π r 3 2 ( T s , 3 - T ∞ )

A partir delas podemos calcular as resistências em cada mecanismo:

R c o n d , 1 = T s , 1 - T s , 2 q c o n d , 1

R c o n d , 1 = 1 r 1 - 1 r 2 4 π k a l

Pela tabela A.1 do apêndice A, k a l = 237   W / m 2 K . Substituindo na relação:

R c o n d , 1 = 1 0,15 - 1 0,18 4 π × 237 = 3,73 × 10 - 4   K / W

Vamos agora para a resistência do isolante:

R c o n d , 2 = T s , 2 - T s , 3 q c o n d , 2

R c o n d , 2 = 1 r 2 - 1 r 3 4 π k i s o

R c o n d , 2 = 1 0,18 - 1 ( 0,18 + 0,12 ) 4 π k i s o = 0,177 k i s o

Por último, a resistência da convecção:

R c o n v = ( T s , 3 - T ∞ ) q c o n v

R c o n v = 1 h 4 π r 3 2

R c o n v = 1 30 × 4 π 0,18 + 0,12 2 = 0,0295   K / W

Então a resistência total do processo é:

R T = R c o n d , 1 + R c o n d , 2 + R c o n v

R T = 3,73 × 10 - 4 + 0,177 k i s o + 0,0295  

R T = 0,0298 + 0,177 k i s o

Passo 3

Usando a resistência total iremos determinar a condutividade térmica do isolante pela relação:

q = ∆ T R T

80 = ( 250 - 20 ) 0,0298 + 0,177 k i s o

0,0298 + 0,177 k i s o = 230 80

0,177 k i s o = 230 80 - 0,0298

k i s o = 0,177 230 80 - 0,0298

k i s o = 0,062   W / m K

Resposta

Condutividade térmica do isolante: k i s o = 0,062   W / m K .

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