Estimar o atrito na parede de tubos é uma das tarefas mais comuns na engenharia de fluidos. Para tubos circulares longos e rugosos em escoamento turbulento, a tensão de cisalhamento na parede tp é uma função da massa específica r, da viscosidade m, da velocidade média V, do diâmetro d do tubo e da rugosidade ε da parede. Assim, funcionalmente, podemos escrever tp = f (r, m, V, d, ε). (a) Usando análise dimensional, reescreva essa função na forma adimensional. (b) Um certo tubo tem d = 5 cm e ε = 0,25 mm. Para escoamento de água a 20°C, medidas mostram os seguintes valores de tensão de cisalhamento na parede:

Faça um gráfico desses dados usando a forma adimensional obtida em (a) e sugira uma fórmula de ajuste de curva. O seu gráfico revela a relação funcional completa obtida na parte (a)?

Em primeiro lugar, iremos resolver a letra (a).

Vamos olhar de novo a função que define a tensão de cisalhamento na parede:

Note que nessa função temos 6 variáveis e 3 dimensões primárias. Por análise dimensional, sabemos que isso quer dizer que teremos 3 grupos Pi.

Como esse é um problema bastante conhecido, temos escolhas muito bem sedimentadas pra esses adimensionais:

O primeiro termo é o adimensional chamado de Coeficiente de atrito da parede, ou .

O segundo é o conhecidíssimo número de Reynolds, .

Por fim, o último adimensional é a rugosidade relativa, que não tem um nome, que não tem nenhum símbolo para representa-lo.

Sendo assim, a forma adimensional para a função apresentada no enunciado é:

Pra finalizar a questão, vamo resolver a letra (b).

Nesse passo, iremos plotar um gráfico de em função do número de Reynolds .

Lembre que temos um tubo de diâmetro , o que significa que sua área é . Desta forma, podemos calcular as velocidades com base nos valores de vazão volumétrica apresentados na Tabela que ilustra o problema.

Com as velocidades calculadas, iremos calcular os números de Reynolds a partir de , considerandp e .

A tabela abaixo demonstra os resultados cálculos que fizemos para cada uma das vazões volumétricas:

A partir da tabela montada, podemos traçar um gráfico de em função de :

Uma lei de potência para esse gráfico pode ser dada por , com .

Note que para essa aplicação é constante e igual . Além disso, nossa correlação só é válida para números de Reynolds variando de a .

Pronto, matamos a questão juntos!