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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 53

Considere escoamento laminar completamente desenvolvido no espaço anular entre dois tubos concêntricos. O tubo externo é estacionário e o tubo interno move na direção x com velocidade V. Considere gradiente axial de pressão zero (∂p/∂x = 0). Obtenha uma expressão geral para a tensão de cisalhamento, τ, como uma função do raio, r, em termos de uma constante, C1. Obtenha uma expressão geral para o perfil de velocidade, u(r), em termos de duas constantes, C1 e C2. Obtenha expressões para C1 e C2.

Passo 1

A equação de momento na componente x pode ser escrita por:

F S x + F B x = 0

Considerando que F B x = 0 temos que:

F S x = 0

F S x = F 1 - F 2 = 0

Sabendo que F 1 = F 2 e que:

F 1 = τ + d τ d y d y 2 . 2 π r + d r 2 d x

Substituindo, temos:

F 1 - F 2 = 0

τ + d τ d y d y 2 . 2 π r + d r 2 d x - τ - d τ d y d y 2 2 π r + d r 2 d x = 0

Simplificando essa equação retirando as equações diferencias, temos:

τ + r d τ d r = 0

Com isso, podemos dizer que uma expressão pro cisalhamento é:

τ = c 1 r

Passo 2

Mas considerando que a tensão também é:

τ = μ d u d r

d u = c 1 μ r d r

Integrando, temos uma expressão para velocidade:

u = c 1 μ ln ⁡ r + c 2

Passo 3

Usando as condições de contorno, podemos encontrar as constantes c 1   e   c 2 .

Para r = r o a velocidade é u = 0 logo:

0 = c 1 μ ln ⁡ r + c 2

c 2 = - c 1 μ ln ⁡ r o

Para r = r i a velocidade é u = V o logo:

V o = c 1 μ ln ⁡ r i - c 1 μ ln ⁡ r o

V o = c 1 μ ( ln ⁡ r i - ln ⁡ r o )

V o = c 1 μ l n r i r o

c 1 = μ V o l n r i r o

Substituindo em c2, temos as constantes:

c 2 = - μ V o l n r i r o 1 μ ln ⁡ r o

c 2 = - V o ln ⁡ r o l n r i r o

Passo 4

Substituindo as constantes na expressão da velocidade, temos:

u = μ V o l n r i r o 1 μ ln ⁡ r - V o ln ⁡ r o l n r i r o

u = V o ln ⁡ r l n r i r o - V o ln ⁡ r o l n r i r o

u = V o l n r i r o ( ln ⁡ r - ln ⁡ r o )

Portanto a expressão geral para o perfil de velocidade é:

u = V o l n r r o l n r i r o

Resposta

τ = c 1 r     ;       u = V o l n r r o l n r i r o

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