Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 63

No Exemplo 9-2 nós fornecemos expressões para u , v   e ρ para escoamento através de um duto compressível convergente.

Encontre uma expressão para a função corrente compressível ψ p que descreve esse campo de escoamento. Por consistência, faça ψ p = 0 ao longo do eixo x.

Passo 1

Fala aí, tudo bem? Vem comigo que eu vou te ajudar a interpretar o enunciado e resolver esse problema.

Nessa questão, a gente tem que encontrar uma expressão ψ p baseada nas expressões de u , v   e ρ para um duto compressível convergente dadas no Exemplo 9-2.

A definição função corrente compressível (em coordenadas cartesianas) é dada pelas expressões:

ρ u = ∂ ψ p ∂ y   e   ρ v = - ∂ ψ p ∂ x

Indo no Exemplo 9-2 (página 353) a gente encontra as seguintes expressões pras propriedades que vamos utilizar:

u =   u 1 + C u x

ρ =   ρ 1 + C p x

ρ v =   - ρ 1 C u + u 1 C p y - 2 C u C p x y

Nos próximos passos a gente vai usar essas relações e as definições de ψ p mostradas lá em cima pra gente poder resolver o problema.

Então vem comigo que eu vou te ajudar a matar essa questão!

Passo 2

Primeiro, temos que escolher uma das equações que definem ψ p . Não importa a que a gente escolha, porque o resultado final é o mesmo. Por isso, vamos escolher ∂ ψ p / ∂ y .

Sendo assim:

∂ ψ p ∂ y = ρ u = ρ 1 + C p x u 1 + C u x = ρ 1 u 1 + u 1 C p + ρ 1 C u x + C p C u x ²

Agora, a gente vai integrar os dois lados da equação. Vamo lembrar que essa é uma integração parcial em y , pra qual   x é uma constante. Então, nossa constante de integração vai depender de x . Logo, a gente obtém:

ψ p =   ρ 1 u 1 y + u 1 C p + ρ 1 C u x y + C p C u x 2 y + g x

Passo 3

Agora, a gente deriva ψ p parcialmente em relação a x :

∂ ψ p ∂ x = ∂ ρ 1 u 1 y + u 1 C p + ρ 1 C u x y + C p C u x 2 y + g ( x ) ∂ x

→ ∂ ψ p ∂ x = u 1 C p + ρ 1 C u y + 2 C p C u x y + g ' ( x )

Então, a gente pega a expressão pra ∂ ψ p / ∂ x e a expressão pra ρ v no Passo 1 e iguala à essa expressão que acabamos de encontrar:

∂ ψ p ∂ x = - ρ v → u 1 C p + ρ 1 C u y + 2 C p C u x y + g ' x = ρ 1 C u + u 1 C p y + 2 C u C p x y

Se a gente olhar os dois lados da equação e compará-los, a gente percebe que:

g ' x = 0

Daí, basta a gente integrar em x e perceber que:

g x = C

Com C sendo uma constante qualquer.

Passo 4

Pra finalizar a questão e encontrar a expressão pra ψ p a gente tem que descobrir o valor dessa constante C .

Até agora, nossa expressão pra ψ p tá assim:

ψ p =   ρ 1 u 1 y + u 1 C p + ρ 1 C u x y + C p C u x 2 y + C

Lembre que nosso enunciado diz que, ao longo do eixo x (ou seja, y   =   0 ), vamos ter ψ p = 0 .

Se a gente substituir esses valores na equação lá em cima, vamos ter:

0 =   ρ 1 u 1 0 + u 1 C p + ρ 1 C u x 0 + C p C u x 2 0 + C

→ C = 0

Logo, a expressão pra ψ p pode ser escrita como:

ψ p =   ρ 1 u 1 y + u 1 C p + ρ 1 C u x y + C p C u x 2 y

Pronto, matamos o problema juntos!

Resposta

A expressão para a função corrente compressível que descreve o campo de escoamento através de um duto compressível convergente é ψ p =   ρ 1 u 1 y + u 1 C p + ρ 1 C u x y + C p C u x 2 y

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma corrente de água uniforme U ∞ =20m / s e ρ =998k g / m ³ ³ é combinada com uma fonte na origem para formar um semicorpo. Em (x, y) = (0, 1,2 m), a pressão é 12,5 kPa abaixo de p ∞ . (a) Esse ponto
Um semicorpo de Rankine é formado como mostra a Figura P8.31. Para a velocidade da corrente e as dimensões do corpo mostradas, calcule (a) a intensidade da fonte m em m²/s, (b) a distância a, (c) a di
Trace as linhas de corrente, especialmente o formato do corpo, causadas por fontes de igual intensidade + m em (-a, 0) e (+a, 0) mais uma corrente uniforme U ∞ =m a .
Trace as linhas de corrente, especialmente o formato do corpo, causadas por fontes de igual intensidade + m em (0, +a) e (0,- a) mais uma corrente uniforme U ∞ =m a .
Considere três fontes igualmente espaçadas de intensidade m localizadas em (x, y) = (0, +a), (0, 0) e (0, - a). Trace as linhas de corrente resultantes, marcando a posição de quaisquer pontos de estag