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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 54

Neste capítulo, descrevemos o escoamento irrotacional axissimétrico em termos de coordenadas cilíndricas r e z e componentes de velocidade u r e u z . Surge uma descrição altemativa do escoamento axissimétrico se usarmos coordenadas polares esféricas e escolhermoso eixo x como o eixo de simetria. As duas componentes direcionais relevantes são agora r e u e suas componentes de velocidade correspondentes são u r e u θ . Nesse

sistema de coordenadas, a localização radial r é a distância da origem e o ângulo polar θ é o ângulo de inclinação entre o vetor radial e o eixo de simetria rotacional (o eixo x ), conforme está representado na Figura P 10 - 54 ; é mostrada uma fatia definindo o plano r θ . Este é um tipo de escoamento bidimensional porque há somente duas variáveis espaciais independentes, r e θ . Em outras palavras, uma solução dos campos de velocidade e pressão em qualquer plano r θ é suficiente para caracterizar toda a região de escoamento irrotacional axissimétrico. Escreva a equação de Laplace para ϕ em coordenadas polares esféricas, válida em regiões de escoamento irrotacional axissimétrico.(Sugestão: Você pode consultar um livro-texto sobre análise vetorial.)

Passo 1

Oioi, xentê! Nesse problema nós temos a descrição de um escoamento irrotacional em coordenadas cilíndricas e posteriormente a segunda alternativa, usando coordenadas esféricas. Basicamente o que nos é pedido é a equação para essa alternativa. Para isso podemos consultar livros!

A expressão laplaciana para coordenadas esféricas de variáveis r e θ é:

∇ 2 = 1 r 2   ∂ ∂ r r 2 ∂ ∂ r + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ sin ⁡ θ ∂ ∂ θ

Portanto, para escoamento irrotacional axissimétrico bidimensional em r e θ , temos:

1 r 2   ∂ ∂ r r 2 ∂ ϕ ∂ r + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ sin ⁡ θ ∂ ϕ ∂ θ = 0

Prontinho!!

Resposta

1 r 2   ∂ ∂ r r 2 ∂ ϕ ∂ r + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ sin ⁡ θ ∂ ϕ ∂ θ = 0

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