68 – Um contêiner esférico de raio interno , raio externo e condutividade térmica é preenchido com água fria a . C contêiner ganha calor por convecção do ar redor a uma temperatura , com coeficiente de transferência de calor . Considerando que a temperatura da superfície interna do contêiner é de , (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para a condução de calor unidimensional permanente através do contêiner, (b) obtenha a relação para a variação da temperatura do contêiner resolvendo a equação diferencial e (c) avalie a taxa de ganho de calor da água fria.

Escreva a equação de condução de calor para o estado estacionário unidimensional, sem geração interna de calor para coordenadas esféricas.

Aplique a primeira condição de limite.

Como o sistema é estável, o fluxo de calor conduzido para a superfície externa do recipiente é igual à transferência do fluxo de calor por convecção da superfície externa para o ambiente.

Aqui, é o fluxo de calor de condução, é o fluxo de calor convectivo.

Substitua  por e por .

Aqui, a condutividade térmica do recipiente é k , o coeficiente de transferência de calor é , a temperatura do ar circundante é  e  é a temperatura da superfície do recipiente no raio .

Aplique a segunda condição de limite.

A temperatura na superfície interna do recipiente é zero.

b)

Considere a equação geral de condução de calor para o estado estacionário unidimensional, sem geração interna de calor,

Aqui é a constante de integração.

Reorganizando a expressão, temos:

Integre a equação acima para obter o perfil de temperatura.

Aqui e são constantes de integração.

Vamos encontrar os valores das constantes por meio das condições de contorno.

No raio

No raio

Como,

Substitua por e

Substitua o valor de  da equação (1) na equação (3).

Reorganize a expressão para obter o valor de .

Vamos encontrar o valor da na equação (1).

Para isso substitua por .

Substitua  e  na equação da distribuição de temperatura,

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

Portanto, a variação de temperatura no recipiente é

c) Encontre a taxa de condução de calor na superfície do recipiente usando a equação.

Aqui, a área de seção transversal do contêiner é  ,  é o calor perdido na superfície do contêiner e a condutividade térmica do material é .

Sabemos que

Dessa forma, temos que:

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

Portanto, a taxa de perda de calor da superfície do recipiente é igual ao ganho de calor da água gelada.