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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 14

Flow in a pipe is often measured with an orifi ce plate, as in

Fig. P5.14. The volume flow Q is a function of the pressure

drop ∆p across the plate, the fluid density ρ, the pipe diameter D, and the orifi ce diameter d. Rewrite this functional

relationship in dimensionless form

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Conte as variáveis. Existem 5 variáveis e três dimensões primárias, M , L , T portanto, esperamos 5 - 3 = 2 ∏ um grupo. Escreva as relações para variáveis adimensionais.

  Q = L 3 T     Δ p = M L T 2     ρ = M L 3     D = L     d = L  

Aqui, o fluxo de volume é Q , a queda de pressão é Δ p a, densidade do fluido é ρ , o diâmetro do tubo é D , e o diâmetro do orifício é d

Passo 2

Inspecionando usando ( Δ p , ρ , D ) como variáveis repetidas também funcionará. Apenas dois, Q e Δ p contêm tempo T . Escreva a relação para calcular o grupo Π por variáveis fundamentais.

Π 1     = Δ p a D b ρ c Q       = M 0 L 0 T 0 . . . ( 1 )  

Substitua M L T 2 por Δ p , M L 3 por ρ , L por D e L 3 T por Q

M L T 2 a L b M L 3 c L 3 T = M 0 L 0 T 0

Compare as potências da variável de massa.

a + c = 0 . . . ( 2 )

Passo 3

Compare as potências da variável comprimento.

    - a - 3 c + b + 3 = 0     a + 3 c - b = 3 . . . ( 3 )  

Compare as potências da variável tempo.

    - 2 a - 1 = 0     a = - 1 2 . . . ( 4 )  

Resolva valores das equações (2), (3) e (4).

  a = - 1 2     b = - 2     c = 1 2  

Substitua - 1 2 por a , - 2 por b e 1 2 por c n a equação (1)

Π 1     = Δ p a D b ρ c Q       = Δ p - 1 2 D - 2 ρ 1 2 Q       = Q ρ D 2 Δ p  

Calcule o segundo termo Pi com base no mesmo procedimento.

Π 2 = d D

Passo 4

Escreva a relação adimensional final.

Π 1 = Π 2

Substitua Q ρ D 2 Δ p por Π 1 , e d D por Π 2 .

  Q ρ D 2 Δ p = d D     Q ρ D 2 Δ p =   f u n   d D  

Assim, a função adimensional final é f d D = Q ρ D 2 Δ p .

Resposta

f d D = Q ρ D 2 Δ p

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