Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 39
A força de fixação de uma peça durante uma operação de torneamento mecânico é causada por óleo de alta pressão suprido por uma bomba. O óleo vaza axialmente através de um espaço anular com diâmetro , comprimento e folga radial . O membro interno do anel gira com velocidade angular . Potência é requerida tanto para bombear o óleo quanto para vencer a dissipação viscosa no espaço anular. Desenvolva expressões em termos da geometria especificada para a potência da bomba, , e para a potência de dissipação viscosa, . Mostre que a potência total requerida é minimizada quando a folga radial, , é escolhida de forma que .
Passo 1
Tá legal, a primeira coisa que devemos fazer é identificar que podemos modelar esse problema como sendo duas placas estacionárias e paralelas (com a placa superior em movimento), dessa forma a vazão será dada pela equação 8.6c:
Beleza, agora, como temos a placa superior em movimento e a placa inferior parada, sabemos que teremos um perfil de velocidade linear, dado por:
No entanto, essa velocidade pode ser escrita em função da velocidade angular e do diâmetro do espaço anular, então, temos:
Então, o perfil de velocidade será:
Passo 2
Agora, sabemos que podemos escrever a potência viscosa como sendo o produto do torque viscoso gerado pela tensão de cisalhamento e a rotação , então, temos:
No entanto, o torque viscoso é dado pela força viscosa vezes o raio anular, então, temos:
E, sabendo que a tensão de cisalhamento é dada por:
Substituindo a expressão encontrada para , temos:
E a equaçã do torque se torna:
Então, substituindo essa expressão na equação para a potência viscosa, temos:
Passo 3
Agora, sabemos que a potência da bomba é dada pelo produto entre a vazão volumétrica e a queda de pressão, então, temos:
Substituindo a expressão descrita no passo 1 para a vazão nessa expressão, temos:
Passo 4
Então, a potência total requerida será a soma das potências viscosa e da bomba, então, temos:
Então, para mostrar que a potência total requerida é minimizada quando a folga radial, , é escolhida de forma que , precisamos derivar a expressão acima em função de e igualar ela a zero, então, temos:
No entanto, conforme dito no enunciado, sabemos que a potência ótima é obtida quando . Então, substituindo as expressões acima em função das potências, teremos:
Que é exatamente o que queríamos mostrar.