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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 134

O hélio se expande em um bocal de 1 MPa, 500 K e velocidade desprezível para 0,1 MPa. Calcule as áreas da garganta e de saída para uma taxa de fluxo em massa de 0,25 k g s , assumindo que o bico seja isentrópico. Por que esse bocal deve estar convergente-divergente?

Passo 1

Shoooow galerinha, vamos continuando?!

Boom, nós temos que calcular a área da garganta, A * , e a área de saída, A 2 , ok?

Primeiro, vamos lembrar de como se calcula a área, começando pela garganta?

A * = m ˙ ρ *   V *

Lembrando que:

ρ * = P * R T *

V * = k R T *

Para o hélio nós temos:

k = 1 , 667

R = 2076,9 J k g K

E o problema nos disse que:

m ˙ = 0,25 k g s

Como a velocidade é desprezível nós temos que:

P 1 = P 0 = 1   M P a

T 1 = T 0 = 500   K

P 2 = 1   M P a

Nos ajudou um pouco, maas ainda não resolveu nossa vida, não é ?!

Passo 2

Para achar os nossos dados salvadores vamos usar a razão entre a temperatura da garganta, que será a temperatura crítica, com a temperatura de estagnação:

T * T 0 = 2 k + 1

Substituindo:

T * 500   K = 2 1,667 + 1

T * = 375   K

E para a pressão é bem similar:

P * P 0 = 2 k + 1 k k - 1

E substituindo:

P * 1   M P a = 2 1,667 + 1 1,667 1,667 - 1

P * = 0,49   M P a

Agora siiim!!

ρ * = 0,49 × 10 6 P a 2076,9 J k g K 375   K = 0,63 k g m 3

V * = 1,667 2076,9 J k g K 375   K = 1139,44 m s

Então:

A * = 0,25 k g s 0,63 k g m 3   1139,44 m s

A * = 3,48 × 10 - 4 m 2

Transformando:

A * = 3,48   c m 2

Achamos uma resposta !! Mas ainda não acabamos !!

Passo 3

Para calcular a saída do bocal nós precisamos lembrar da razão entre a pressão de estagnação e a pressão estática na saída para achar o número Mach:

P 0 P 2 = 1 + k - 1 2 M a 2 2 k k - 1

Substituindo:

1   M P a 0 , 1   M P a = 1 + 1,667 - 1 2 M a 2 2 1,667 1,667 - 1

M a 2 = 2,13

Com o número Mach nós conseguimos achar a temperatura da saída:

T 0 T 2 = 1 + k - 1 2 M a 2 2

Substituindo:

500   K T 2 = 1 + 1,667 - 1 2 2,13 2

T 2 = 199   K

Com isso nós podemos calcular a área na saída vamos:

A 2 = m ˙ ρ 2 V 2

Lembrando que:

ρ 2 = P 2 R T 2

V 2 = M a 2 k R T 2

Substituindo:

A 2 = 0,65 k g s 0,1 × 10 6 P a 2076,9 J k g K 199   K 2,13 1,667 2076,9 J k g K 199   K

A 2 = 5,84 × 10 - 4   m 2

Transformando:

A 2 = 5,84   c m 2

Shooow de bolinhas ?!

Resposta

A * = 3,48   c m 2

A 2 = 5,84   c m 2

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