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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 61

An incompressible stream function is given by

ψ 5 aθ 1 br sin θ. (a) Does this fl ow have a velocity

potential? (b) If so, find it.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

a) Encontre as velocidades (coordenadas polares) e veja se a velocidade angular é zero

v r   = 1 r ∂ ˆ ψ ∂ θ   = a r + b c o s ⁡ θ v e   = - ∂ ψ ∂ r   = - b s i n ⁡ θ

Escreva a equação para a velocidade angular da coordenada polar

2 ω z = 1 r ∂ ∂ r r v θ - 1 r ∂ v r ∂ r

Substituindo valores

2 ω z   = 1 r ∂ ∂ r ( r ( - b s i n ⁡ θ ) ) - 1 r ∂ ∂ r a r + b c o s ⁡ θ   = - b s i n ⁡ θ r + b s i n ⁡ θ r   = 0

Uma vez que, ω z = 0 este fluxo tem um potencial de velocidade.

Passo 2

b) Calcular o potencial de velocidade.

v r = ∂ ϕ ∂ r

Substitua a r + b c o s ⁡ θ para v r .

∂ ϕ ∂ r = a r + b c o s ⁡ θ

Integre a equação.

∂ ϕ ∂ r = a r + b c o s ⁡ θ ϕ = a l n ⁡ ( r ) + b r c o s ⁡ θ +  const 

Assim, o potencial de velocidade é ϕ = a l n ⁡ ( r ) + b r c o s ⁡ θ + c o n s t .

Resposta

a) Tem potencial de velocidade

b) ϕ = a l n ⁡ ( r ) + b r c o s ⁡ θ + c o n s t

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