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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 50

In 1851, George Stokes (of Navier-Stokes fame) solved the

problem of steady incompressible low-Reynolds-number

flow past a sphere, using spherical polar coordinates (r, θ)

[Ref. 5, page 168]. In these coordinates, the equation of

continuity is

0

0r

(r2υr sin θ) 1 0

0θ(rυθ sin θ ) 5 0

(a) Does a stream function exist for these coordinates?

(b) If so, fi nd its form

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A equação de continuidade em coordenada esférica,

∂ ∂ r r 2 v r s i n ⁡ θ + ∂ ∂ θ r v θ s i n ⁡ θ = 0 . . . ( 1 )

a) Sim, uma função de fluxo sai neste caso porque existem dois componentes de velocidade e v r v θ dois termos de continuidade ∂ ∂ r r 2 v r s i n ⁡ θ e ∂ ∂ θ r v θ s i n ⁡ θ .

Passo 2

b) A equação de continuidade em termos de função de fluxo é

- ∂ 2 ψ ∂ r ∂ θ + ∂ 2 ψ ∂ θ ∂ r = 0 . . . ( 2 )

Comparar as equações (1) e (2),

  - ∂ 2 ψ ∂ r ∂ θ = ∂ ∂ r r 2 v r s i n ⁡ θ   - ∂ ∂ r ∂ ψ ∂ θ = ∂ ∂ r r 2 v r s i n ⁡ θ   - ∂ ψ ∂ θ = r 2 v r s i n ⁡ θ v r = - 1 r 2 s i n ⁡ θ ∂ ψ ∂ θ ψ 1 = - ∫   v r r 2 s i n ⁡ θ d θ

Portanto, a função de fluxo é ψ 1 = - ∫ v r r 2 s i n ⁡ θ d θ .

Passo 3

Da mesma forma, localize a outra função de fluxo

∂ 2 ψ ∂ θ ∂ r   = ∂ ∂ θ r v θ s i n ⁡ θ ∂ ∂ θ ∂ ψ ∂ r   = ∂ ∂ θ r v θ s i n ⁡ θ ∂ ψ ∂ r   = r v θ s i n ⁡ θ v θ   = 1 r s i n ⁡ θ ∂ ψ ∂ r ψ 2   = ∫   v θ r s i n ⁡ θ d r

Portanto, a função de fluxo é ψ 2 = ∫ v θ r s i n ⁡ θ d r .

Resposta

b) ψ 1 = - ∫ v r r 2 s i n ⁡ θ d θ e ψ 2 = ∫ v θ r s i n ⁡ θ d r

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